Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int \tan x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int \tan x \,\operatorname{sec}^{2}x \,dx
usando o método de substituição. Vamos aproveitar que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Fazemos a troca
u = \tan x, \quad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Assim a integral vira
\int \tan x \,\operatorname{sec}^{2}x \,dx = \int u \,du.

Passo 3

Agora integramos em relação a u:
\int u \,du = \frac{u^{2}}{2} + C.
Voltando à variável original ( u=\tan x), obtemos
\frac{\tan^{2}x}{2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\tan^{2}x + C

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