Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
\int \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} d x, use u=1+\sqrt[3]{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}\,dx
usando a substituição u=1+\sqrt[3]{x}. O conteúdo aqui é integração por substituição, onde expressamos x e dx em função de u.

Passo 2

Definimos
u = 1 + \sqrt[3]{x},
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\sqrt[3]{x} = u - 1 \quad\text{e}\quad x = (u - 1)^3.
Derivando ambos os lados em relação a u,
dx = 3(u - 1)^2\,du.

Passo 3

Substituindo x e dx no integral original, obtemos
\int \frac{1}{u}\,3(u - 1)^2\,du = 3\int \frac{(u - 1)^2}{u}\,du = 3\int \frac{u^2 - 2u + 1}{u}\,du = 3\int \bigl(u - 2 + \tfrac{1}{u}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
3\int \bigl(u - 2 + \tfrac{1}{u}\bigr)\,du = 3\Bigl(\tfrac{u^2}{2} - 2u + \ln|u|\Bigr) + C = \tfrac{3}{2}u^2 - 6u + 3\ln|u| + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = 1 + \sqrt[3]{x}, resulta
\tfrac{3}{2}\bigl(1 + \sqrt[3]{x}\bigr)^2 - 6\bigl(1 + \sqrt[3]{x}\bigr) + 3\ln\bigl|1 + \sqrt[3]{x}\bigr| + C.
Simplificando e absorvendo constantes, obtém-se
\tfrac{3}{2}x^{\tfrac{2}{3}} - 3x^{\tfrac{1}{3}} + 3\ln\bigl(1 + x^{\tfrac{1}{3}}\bigr) + C.

Resposta

\frac{3}{2}x^{\tfrac{2}{3}} - 3x^{\tfrac{1}{3}} + 3\ln\bigl(1 + x^{\tfrac{1}{3}}\bigr) + C.

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