Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int \frac{1}{x \ln ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\int \frac{1}{x\,(\ln x)^{2}}\,dx
usando o método de substituição. Vamos identificar uma substituição que simplifique a parte \ln x.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln x.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{1}{x\,(\ln x)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\;\frac{dx}{x} = \int u^{-2}\,du.

Passo 4

Calculamos a integral em u:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C.

Passo 5

Volta à variável original: u = \ln x. Logo,
-\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{\ln x} + C.

Resposta

-\frac{1}{\ln x} + C

Exercícios relacionados