Calcule as seguintes integrais usando a técnica de frações parciais:
integral x-1x(x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x-1x(x+1),dx usando frações parciais, tema de integração de funções racionais, onde vamos decompor o integrando em somas de frações simples.

Passo 2

Para decompor x-1x(x+1) escrevemos x-1x(x+1)=Ax+Bx+1. Isso serve para transformar a integral original em duas integrais mais fáceis.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(x+1) para achar A e B:
x-1=A(x+1)+B x=(A+B)x+A
Comparando coeficientes, temos
A+B=1,
A=-1
Logo A=-1 e B=2.

Passo 4

Substituímos na integral:
integral x-1x(x+1),dx=integrall(-1x+2x+1r)dx
Agora integramos cada termo separadamente.

Passo 5

Calculamos as primitivas:
integral -1x,dx=-ln|x|+C1,
integral 2x+1,dx=2ln|x+1|+C2
Somando e agrupando constantes em C, obtemos a resposta final.

Resposta

-\ln|x| + 2\ln|x+1| + C

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