Calcule as seguintes integrais utilizando coordenadas polares:
\iint_{R} \operatorname{arctim}\left(\frac{y}{x}\right) d x d y, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant x\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,dx\,dy
onde
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le x^2+y^2\le 4,\;0\le y\le x\}.
Este é um caso clássico de troca para coordenadas polares, em que usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
e aproveitamos que em R, com x>0 e y\ge0, vale \arctan(y/x)=\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares a função no integrando fica
\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\theta,
e o elemento de área é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Logo a integral transforma-se em
\iint_{R}\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,dx\,dy =\iint_{\tilde R}\theta\,(r\,dr\,d\theta).

Passo 3

Precisamos descrever \tilde R em termos de (r,\theta). As condições de R dão
  1. 1\le r^2\le 4;⇒; 1\le r\le 2.
  2. 0\le y\le x;⇒; 0\le r\sin\theta\le r\cos\theta;⇒; 0\le\theta\le\pi/4.
    Logo
\tilde R=\{(r,\theta)\mid 1\le r\le 2,\;0\le\theta\le\pi/4\}.

Passo 4

Escrevendo a integral em polares com esses limites:
\iint_{R}\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\,dx\,dy =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2}\theta\;r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculemos primeiro a integral interna em r:
\int_{1}^{2}r\,dr = \Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Então a integral fica
\int_{0}^{\pi/4}\theta\;\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)\,d\theta =\frac{3}{2}\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta.

Passo 6

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta =\Bigl[\tfrac{\theta^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)^{2} =\frac{\pi^{2}}{32}.
Multiplicando por \tfrac{3}{2}
\frac{3}{2}\;\frac{\pi^{2}}{32} =\frac{3\pi^{2}}{64}.

Resposta

\frac{3\pi^{2}}{64}.

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