Derive as seguintes funções:
f(x)=\frac{\log _{7}(x)}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \frac{\log_{7}(x)}{1+x}
Vamos usar a conversão de logaritmo para base e e a regra do quociente para derivação.

Passo 2

Primeiro, convertemos o logaritmo de base 7 em logaritmo natural:
\log_{7}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(7)}
Logo, podemos reescrever
f(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(7)\,(1+x)}.

Passo 3

Definimos as funções do numerador e denominador para aplicar a regra do quociente:
u(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(7)}, \quad v(x) = 1 + x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = \frac{1}{x\,\ln(7)}, \quad v'(x) = 1.

Passo 5

Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} = \frac{\displaystyle \frac{1}{x\,\ln(7)}\,(1+x) \;-\; \frac{\ln(x)}{\ln(7)}\cdot 1}{(1+x)^{2}}.

Passo 6

Fatoramos 1/\ln(7) e simplificamos o numerador:
f'(x) = \frac{1}{\ln(7)}\;\frac{\displaystyle \frac{1+x}{x} \;-\;\ln(x)}{(1+x)^{2}} = \frac{1}{\ln(7)}\;\frac{1 + x - x\,\ln(x)}{x\,(1+x)^{2}}.

Resposta

\boxed{\,f'(x) = \frac{1 + x - x\,\ln(x)}{\ln(7)\;x\,(1+x)^{2}}\,.}

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