Derive as seguintes funções:
d(z)=\ln \left|2-z-5 z^{2}\right|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
d(z)=\ln\bigl|2 - z - 5z^{2}\bigr|
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada à função logarítmica com valor absoluto.

Passo 2

Lembrando que, para uma função u(z) tal que u(z)\neq0, vale
\frac{d}{dz}\ln\bigl|u(z)\bigr| = \frac{u'(z)}{u(z)}.

Passo 3

Identificamos
u(z) = 2 - z - 5z^{2}.
Calculamos a derivada de u:
u'(z) = \frac{d}{dz}\bigl(2 - z - 5z^{2}\bigr) = -1 - 10z.

Passo 4

Aplicando a fórmula da regra da cadeia para logaritmo, temos
d'(z) = \frac{u'(z)}{u(z)} = \frac{-1 - 10z}{2 - z - 5z^{2}}.

Passo 5

Podemos reorganizar um pouco o resultado para ficar mais “limpo”:
d'(z) = -\,\frac{1 + 10z}{2 - z - 5z^{2}} \quad\text{ou}\quad d'(z) = \frac{1 + 10z}{5z^{2} + z - 2}.

Resposta

d'(z) = \frac{-1 - 10z}{2 - z - 5z^{2}}
ou, equivalentemente,
d'(z) = -\,\frac{1 + 10z}{2 - z - 5z^{2}}
ou ainda
d'(z) = \frac{1 + 10z}{5z^{2} + z - 2}.

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