Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica: \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-4 x-5}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos observar que isso envolve uma expressão do tipo \sqrt{u^{2}-a^{2}}, e precisaremos completar o quadrado para isolar esse formato.
Passo 2
Complete o quadrado no radicando:
x^{2}-4x-5 = (x-2)^{2}-4-5 = (x-2)^{2}-9.
Definindo u = x-2, a integral vira
\int \frac{dx}{\sqrt{u^{2}-3^{2}}}.
Passo 3
Para integrar \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}} com a=3, usamos a substituição trigonométrica
u = 3\operatorname{sec}\theta,
pois então \sqrt{u^{2}-9} = 3\tan\theta.
Passo 4
Calculemos os diferenciais e a raiz após a substituição:
u = x-2,\quad du = dx,
u = 3\operatorname{sec}\theta \implies du = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,