Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica:
\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-4 x-5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos observar que isso envolve uma expressão do tipo \sqrt{u^{2}-a^{2}}, e precisaremos completar o quadrado para isolar esse formato.

Passo 2

Complete o quadrado no radicando:
x^{2}-4x-5 = (x-2)^{2}-4-5 = (x-2)^{2}-9.
Definindo u = x-2, a integral vira
\int \frac{dx}{\sqrt{u^{2}-3^{2}}}.

Passo 3

Para integrar \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}} com a=3, usamos a substituição trigonométrica
u = 3\operatorname{sec}\theta,
pois então \sqrt{u^{2}-9} = 3\tan\theta.

Passo 4

Calculemos os diferenciais e a raiz após a substituição:
u = x-2,\quad du = dx,
u = 3\operatorname{sec}\theta \implies du = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,
\sqrt{u^{2}-9} = \sqrt{9\operatorname{sec}^{2}\theta-9} = 3\tan\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)^{2}-9}} = \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}} = \int \frac{3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{3\tan\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 5

A integral de \operatorname{sec}\theta é
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.

Passo 6

Volte à variável x. Temos
\operatorname{sec}\theta = \frac{u}{3} = \frac{x-2}{3}, \qquad \tan\theta = \frac{\sqrt{u^{2}-9}}{3} = \frac{\sqrt{x^{2}-4x-5}}{3}.
Logo,
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x-2}{3} + \frac{\sqrt{x^{2}-4x-5}}{3}\Bigr| = \ln\bigl|x-2 + \sqrt{x^{2}-4x-5}\bigr| - \ln 3.
Como -\ln 3 pode ser absorvido na constante, a primitiva fica

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}} = \ln\bigl|x-2 + \sqrt{x^{2}-4x-5}\bigr| + C.

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