Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica:
\int \frac{x d x}{\sqrt{6 x-x^{2}-5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{6x - x^{2} - 5}}
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é a técnica de escrever \sqrt{ax^{2}+bx+c} como \sqrt{A-(x-h)^{2}}, depois usar x-h = a\sin\theta.

Passo 2

Para aplicar a substituição, completamos o quadrado dentro da raiz:
6x - x^{2} - 5 = -(x^{2}-6x+5) = -\bigl((x-3)^{2}-9+5\bigr) = -\bigl((x-3)^{2}-4\bigr) = 4 - (x-3)^{2}.
Logo \sqrt{6x - x^{2} - 5} = \sqrt{4 - (x-3)^{2}}.

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica padrão para \sqrt{a^{2}-u^{2}}:
u = x-3,\quad u = 2\sin\theta.
Assim
x = 3 + 2\sin\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{4 - (x-3)^{2}} = \sqrt{4 - u^{2}} = 2\cos\theta.

Passo 4

Calculamos dx em função de \theta:
du = dx,\quad du = 2\cos\theta\,d\theta \;\Longrightarrow\; dx = 2\cos\theta\,d\theta.

Passo 5

Substituímos em \displaystyle \int \frac{x\,dx}{\sqrt{4-(x-3)^{2}}}:
\int \frac{(3+2\sin\theta)\,(2\cos\theta\,d\theta)}{2\cos\theta} = \int (3 + 2\sin\theta)\,d\theta = 3\int d\theta + 2\int \sin\theta\,d\theta.

Passo 6

Integramos em \theta:
3\int d\theta = 3\theta, \quad 2\int \sin\theta\,d\theta = -2\cos\theta.
Portanto a integral vira
3\theta - 2\cos\theta + C.

Passo 7

Voltamos a variável x. Da substituição x-3 = 2\sin\theta temos
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr), \quad \cos\theta = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \sqrt{1 - \bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr)^{2}} = \frac{\sqrt{4-(x-3)^{2}}}{2}.
Substituindo em 3\theta - 2\cos\theta
3\arcsin\!\bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr) -2\cdot\frac{\sqrt{4-(x-3)^{2}}}{2} = 3\arcsin\!\bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr) - \sqrt{4-(x-3)^{2}} + C.

Resposta

\int \frac{x\,dx}{\sqrt{6x - x^{2} - 5}} = 3\arcsin\!\bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr) - \sqrt{4-(x-3)^{2}} + C.

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