Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica:
\int \frac{1}{\sqrt{2-3 x-4 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{1}{\sqrt{2 - 3x - 4x^{2}}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos precisar completar o quadrado no radicando para obter uma expressão do tipo a^{2} - u^{2} e então usar u = a\sin\theta.

Passo 2

Complete o quadrado em 2 - 3x - 4x^{2}. Primeiro, fatoramos -4:
2 - 3x - 4x^{2} = -4\Bigl(x^{2} + \tfrac{3}{4}x - \tfrac{1}{2}\Bigr).
Em seguida,
x^{2} + \tfrac{3}{4}x - \tfrac{1}{2} = \Bigl(x + \tfrac{3}{8}\Bigr)^{2} - \frac{9}{64} - \frac{32}{64} = \Bigl(x + \tfrac{3}{8}\Bigr)^{2} - \frac{41}{64}.
Logo,
2 - 3x - 4x^{2} = -4\Bigl[\bigl(x + \tfrac{3}{8}\bigr)^{2} - \tfrac{41}{64}\Bigr] = \frac{41}{16} \;-\; 4\bigl(x + \tfrac{3}{8}\bigr)^{2}.

Passo 3

Reescrevemos o integrando isolando o fator constante:
\int \frac{1}{\sqrt{\frac{41}{16} - 4\bigl(x + \tfrac{3}{8}\bigr)^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{41}{16}}\, \sqrt{1 - \frac{4\cdot16}{41}\bigl(x + \tfrac{3}{8}\bigr)^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\frac{\sqrt{41}}{4}\, \sqrt{1 - \bigl(\frac{8(x + \tfrac{3}{8})}{\sqrt{41}}\bigr)^{2}}}\,dx.

Passo 4

Fazemos a substituição trigonométrica
\frac{8\bigl(x + \tfrac{3}{8}\bigr)}{\sqrt{41}} = \sin\theta,
então
x + \tfrac{3}{8} = \frac{\sqrt{41}}{8}\,\sin\theta, \qquad dx = \frac{\sqrt{41}}{8}\,\cos\theta\,d\theta,
e
\sqrt{1 - \Bigl(\frac{8(x + \tfrac{3}{8})}{\sqrt{41}}\Bigr)^{2}} = \cos\theta.
Substituindo no integral,
\int \frac{1}{\frac{\sqrt{41}}{4}\,\cos\theta} \;\frac{\sqrt{41}}{8}\,\cos\theta\,d\theta = \int \frac{\sqrt{41}}{8}\,\frac{\cos\theta}{\frac{\sqrt{41}}{4}\,\cos\theta}\,d\theta = \int \frac{1}{2}\,d\theta = \frac{\theta}{2} + C.

Passo 5

Volta ao x: da substituição temos
\sin\theta = \frac{8(x + \tfrac{3}{8})}{\sqrt{41}} = \frac{8x + 3}{\sqrt{41}},
logo
\theta = \arcsin\!\Bigl(\frac{8x + 3}{\sqrt{41}}\Bigr).
Portanto a integral vale
\frac{1}{2}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{8x + 3}{\sqrt{41}}\Bigr) + C.

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{2 - 3x - 4x^{2}}}\,dx = \frac{1}{2}\,\arcsin\!\Bigl(\frac{8x + 3}{\sqrt{41}}\Bigr) + C.

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