Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica:
\int x^{2} \sqrt{x^{2}+9} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{2}\sqrt{x^{2}+9}\,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é integração por substituição do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}}; aqui vamos usar x=a\tan\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x=3\tan\theta, \quad dx=3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}+9}=\sqrt{9\tan^{2}\theta+9}=3\operatorname{sec}\theta.
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\int x^{2}\sqrt{x^{2}+9}\,dx =\int \bigl(3\tan\theta\bigr)^{2}\bigl(3\operatorname{sec}\theta\bigr)\bigl(3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\bigr).

Passo 3

Desenvolvendo os fatores e usando \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1, obtemos
\int x^{2}\sqrt{x^{2}+9}\,dx =81\int \tan^{2}\theta\,\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =81\int \bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta-1\bigr)\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =81\int \bigl(\operatorname{sec}^{5}\theta-\operatorname{sec}^{3}\theta\bigr)\,d\theta.
Para integrar \operatorname{sec}^{n}\theta com n ímpar, aplicamos a fórmula de redução
\int \operatorname{sec}^{n}\theta\,d\theta =\frac{1}{n-1}\operatorname{sec}^{n-2}\theta\tan\theta +\frac{n-2}{n-1}\int \operatorname{sec}^{n-2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para n=5 resulta
\int \operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta =\tfrac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta +\tfrac{3}{4}\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
E sabe-se também que
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta +\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|.
Substituindo em \int(\operatorname{sec}^{5}\theta-\operatorname{sec}^{3}\theta)\,d\theta e multiplicando por 81, obtemos
81\Bigl[ \tfrac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta -\tfrac{1}{8}\operatorname{sec}\theta\tan\theta -\tfrac{1}{8}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| \Bigr] +C.

Passo 5

Voltando à variável x, usamos
\operatorname{sec}\theta=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{3}, \quad \tan\theta=\frac{x}{3}, \quad \ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| =\ln\!\Bigl|x+\sqrt{x^{2}+9}\Bigr|-\ln 3.
Ignorando a constante -\tfrac{81}{8}\ln3 que se absorve em C, e simplificando, chegamos a
\int x^{2}\sqrt{x^{2}+9}\,dx =\frac{x(x^{2}+9)^{3/2}}{4} -\frac{9x\sqrt{x^{2}+9}}{8} -\frac{81}{8}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+9}\bigr| +C.
Reescrevendo de forma mais compacta:
\int x^{2}\sqrt{x^{2}+9}\,dx =\frac{x\sqrt{x^{2}+9}\,\bigl(2x^{2}+9\bigr)}{8} -\frac{81}{8}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+9}\bigr| +C.

Resposta

\int x^{2}\sqrt{x^{2}+9}\,dx =\frac{x\sqrt{x^{2}+9}\,\bigl(2x^{2}+9\bigr)}{8} -\frac{81}{8}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+9}\bigr| +C.

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