Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica:
\int \frac{d x}{\sqrt{1+x+x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x + x^2}}
usando substituição trigonométrica. Vamos primeiro completar o quadrado em x^2 + x + 1 e depois escolher uma substituição que transforme a raiz num denominador trigonométrico fácil de integrar.

Passo 2

Completar o quadrado em x^2 + x + 1:
x^2 + x + 1 = \Bigl(x + \tfrac12\Bigr)^2 + 1 - \tfrac14 = \Bigl(x + \tfrac12\Bigr)^2 + \tfrac34.
Definimos
u = x + \tfrac12,
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x^2 + x + 1 = u^2 + \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^2 \quad\text{e}\quad dx = du.
A integral fica
\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x + x^2}} = \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + \bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2}}.

Passo 3

Usamos a substituição trigonométrica para \sqrt{u^2 + a^2}, com a = \tfrac{\sqrt3}{2}:
u = \frac{\sqrt3}{2}\,\tan\theta,
então
du = \frac{\sqrt3}{2}\,\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{u^2 + \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^2} = \frac{\sqrt3}{2}\,\operatorname{sec}\theta.
A integral torna-se
\int \frac{\frac{\sqrt3}{2}\,\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta}{\frac{\sqrt3}{2}\,\operatorname{sec}\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Retornando a x:
\tan\theta = \frac{u}{a} = \frac{x + \tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \frac{2x + 1}{\sqrt3},
e
\operatorname{sec}\theta = \sqrt{1 + \tan^2\theta} = \sqrt{1 + \frac{(2x+1)^2}{3}} = \frac{2\sqrt{x^2 + x + 1}}{\sqrt3}.
Portanto
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| = \ln\Bigl| \frac{2\sqrt{x^2 + x + 1}}{\sqrt3} + \frac{2x+1}{\sqrt3} \Bigr| = \ln\Bigl|\sqrt{x^2+x+1} + x + \tfrac12\Bigr| + \text{constante}.

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x + x^2}} = \ln\Bigl|\sqrt{x^2 + x + 1} + x + \tfrac12\Bigr| + C.

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