Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes:
\int \frac{e^{x}+3 e^{2 x}}{1+e^{2 x}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{x}+3 e^{2 x}}{1+e^{2 x}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{e^{x}+3e^{2x}}{1+e^{2x}}.
  • Devemos usar primitivaa conhecidas e, em particular, o método de substituição (e integrar por partes se for útil).
  • Queremos uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) cuja derivada seja a integranda.

Passo 2

Motivação para a substituição: vejo termos com e^{x} e e^{2x}. Uma troca de variável que simplifica potências de e^{x} costuma ser u=e^{x}. Vou usar essa substituição porque transforma e^{2x} em u^{2} e lineariza a dependência exponencial, tornando a integral uma função racional em u.
Faço a substituição:
u = e^{x}.
Explico o que cada símbolo significa: u é a nova variável definida pelo valor de e^{x}; x é a variável original. Diferencio para obter dx em termos de du:
du = e^{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{e^{x}} = \frac{du}{u}.

Passo 3

Substituo na integral original todas as ocorrências de e^{x}, e^{2x} e dx:
  • e^{x} = u.
  • e^{2x} = (e^{x})^{2} = u^{2}.
  • dx = \dfrac{du}{u}.
A integral fica
\int \frac{e^{x}+3 e^{2 x}}{1+e^{2 x}}\,dx = \int \frac{u + 3u^{2}}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{u}.
Agora simplifico a expressão multiplicando por 1/u:
\frac{u + 3u^{2}}{1+u^{2}}\cdot\frac{1}{u} = \frac{1 + 3u}{1+u^{2}}.
Portanto a integral transformou-se em
\int \frac{1 + 3u}{1+u^{2}}\,du.

Passo 4

Divido a integral em duas parcelas mais simples (linearidade da integral):
\int \frac{1 + 3u}{1+u^{2}}\,du = \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du \;+\; 3\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du.
Agora vou resolver cada parcela usando primitivasa conhecidas.

Passo 5

Primeira parcela: lembro que a derivada da função \arctan(u) é \dfrac{1}{1+u^{2}}. Assim
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du = \arctan(u) + C_{1}.
Aqui C_{1} é uma constante de integração que juntaremos depois com as outras constantes.
Segunda parcela: para \int \dfrac{u}{1+u^{2}}\,du uso uma substituição simples dentro desta integral (padrão): seja v=1+u^{2}. Então dv = 2u\,du, ou seja u\,du = \dfrac{1}{2}\,dv. Portanto
\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du = \int \frac{1}{v}\cdot\frac{1}{2}\,dv = \frac{1}{2}\ln|v| + C_{2}.
Voltando a u, isso dá
\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\ln(1+u^{2}) + C_{2},
onde usei \ln(1+u^{2}) sem valor absoluto porque 1+u^{2}>0 para todo u.

Passo 6

Combino as duas parcelas (e o fator 3 da segunda):
\int \frac{1 + 3u}{1+u^{2}}\,du = \arctan(u) + 3\cdot\frac{1}{2}\ln(1+u^{2}) + C = \arctan(u) + \frac{3}{2}\ln(1+u^{2}) + C,
onde C é a constante de integração que agrupa C_{1} e 3C_{2}.

Passo 7

Volto à variável original x usando u=e^{x}. Substituindo u por e^{x} na primitiva encontrada:
\arctan(u) + \frac{3}{2}\ln(1+u^{2}) + C \quad\longrightarrow\quad \arctan(e^{x}) + \frac{3}{2}\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) + C.

Passo 8

Checagem rápida (opcional, mas útil na prova): derivo a expressão encontrada para confirmar que volto à integranda. Usando a regra da cadeia:
  • \dfrac{d}{dx}\arctan(e^{x}) = \dfrac{1}{1+e^{2x}}\cdot e^{x}.
  • \dfrac{d}{dx}\dfrac{3}{2}\ln(1+e^{2x}) = \dfrac{3}{2}\cdot \frac{1}{1+e^{2x}}\cdot 2e^{2x} = \dfrac{3e^{2x}}{1+e^{2x}}.
    Somando:
\frac{e^{x}}{1+e^{2x}} + \frac{3e^{2x}}{1+e^{2x}} = \frac{e^{x}+3e^{2x}}{1+e^{2x}},
que é exatamente a integranda. Perfeito!

Resposta

\arctan(e^{x}) + \dfrac{3}{2}\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) + C

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