Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Devemos usar primitivaa conhecidas e, em particular, o método de substituição (e integrar por partes se for útil).
- Queremos uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) cuja derivada seja a integranda.
Passo 2
Motivação para a substituição: vejo termos com
e
. Uma troca de variável que simplifica potências de
costuma ser
. Vou usar essa substituição porque transforma
em
e lineariza a dependência exponencial, tornando a integral uma função racional em
.
Faço a substituição:
Explico o que cada símbolo significa:
é a nova variável definida pelo valor de
;
é a variável original. Diferencio para obter
em termos de
:
Passo 3
Substituo na integral original todas as ocorrências de
,
e
:
-
. -
. -
.
A integral fica
Agora simplifico a expressão multiplicando por
:
Portanto a integral transformou-se em
Passo 4
Divido a integral em duas parcelas mais simples (linearidade da integral):
Agora vou resolver cada parcela usando primitivasa conhecidas.
Passo 5
Primeira parcela: lembro que a derivada da função
é
. Assim
Aqui
é uma constante de integração que juntaremos depois com as outras constantes.
Segunda parcela: para
uso uma substituição simples dentro desta integral (padrão): seja
. Então
, ou seja
. Portanto
Voltando a
, isso dá
onde usei
sem valor absoluto porque
para todo
.
Passo 6
Combino as duas parcelas (e o fator
da segunda):
onde
é a constante de integração que agrupa
e
.
Passo 7
Volto à variável original
usando
. Substituindo
por
na primitiva encontrada:
Passo 8
Checagem rápida (opcional, mas útil na prova): derivo a expressão encontrada para confirmar que volto à integranda. Usando a regra da cadeia:
-
. -
.
Somando:
que é exatamente a integranda. Perfeito!