Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes que o enunciado dá:
Observação sobre domínio (importante para que as operações com log e raiz façam sentido):
exige
, mas
exige argumento estritamente positivo, então precisamos de
. Logo a integral está definida para
.
Não irei resolver ainda — só identifiquei o que é pedido e as condições iniciais.
Não irei resolver ainda — só identifiquei o que é pedido e as condições iniciais.
Passo 2
Simplificação inicial usando uma propriedade dos logaritmos: para qualquer
vale
. Aplicando com
(que é positivo no domínio), obtemos
Portanto a integral fica
Aqui já usei a propriedade do log para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 3
Para facilitar ainda mais, faço uma substituição simples que centraliza o argumento do log:
Com essa substituição a integral transforma-se em
Agora precisamos calcular
. Esse tipo de integral é clássico e costuma-se resolver por integração por partes.
Passo 4
Lembrete da fórmula de integração por partes (explicando o que cada letra significa):
Aqui
é uma função que escolhemos para derivar (calculamos
), e
é a parte que integramos para obter
. A escolha de
costuma seguir a regra prática: escolher
como a parte que fica mais simples ao derivar.
Aplicando a
, escolho
Então calculo
Agora aplico a fórmula:
O integrando dentro é simples:
Logo
onde
é constante de integração.
Passo 5
Volto à variável original
(substituindo
) e lembro do fator
que estava fora:
Substituindo
,
Posso simplificar a parte linear:
Se quiser deixar ainda mais enxuto:
Como
é constante, podemos absorvê-la na constante de integração
. Assim uma forma limpa da primitiva é
Passo 6
Verificação rápida (checar derivada): calcule a derivada de
Usando regra do produto e cadeia:
Simplificando:
que é exatamente
pela igualdade
. Portanto a primitiva está correta.