Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes:
\int \ln (\sqrt{x+1}) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \ln\big(\sqrt{x+1}\big)\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{Integrando em }x,\quad \text{integrando: }\ln\big(\sqrt{x+1}\big).
Observação sobre domínio (importante para que as operações com log e raiz façam sentido): \sqrt{x+1} exige x+1\ge 0, mas \ln(\cdot) exige argumento estritamente positivo, então precisamos de x+1>0. Logo a integral está definida para x>-1.
Não irei resolver ainda — só identifiquei o que é pedido e as condições iniciais.

Passo 2

Simplificação inicial usando uma propriedade dos logaritmos: para qualquer t>0 vale \ln(\sqrt{t})=\ln(t^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln t. Aplicando com t=x+1 (que é positivo no domínio), obtemos
\ln\big(\sqrt{x+1}\big)=\tfrac{1}{2}\ln(x+1).
Portanto a integral fica
\int \ln\big(\sqrt{x+1}\big)\,dx=\tfrac{1}{2}\int \ln(x+1)\,dx.
Aqui já usei a propriedade do log para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 3

Para facilitar ainda mais, faço uma substituição simples que centraliza o argumento do log:
t = x+1 \quad\Rightarrow\quad dt = dx.
Com essa substituição a integral transforma-se em
\tfrac{1}{2}\int \ln(x+1)\,dx=\tfrac{1}{2}\int \ln t\,dt.
Agora precisamos calcular \int \ln t\,dt. Esse tipo de integral é clássico e costuma-se resolver por integração por partes.

Passo 4

Lembrete da fórmula de integração por partes (explicando o que cada letra significa):
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (calculamos du), e dv é a parte que integramos para obter v. A escolha de u costuma seguir a regra prática: escolher u como a parte que fica mais simples ao derivar.
Aplicando a \int \ln t\,dt, escolho
u=\ln t,\qquad dv = dt.
Então calculo
du=\frac{1}{t}\,dt,\qquad v=\int dv=\int dt=t.
Agora aplico a fórmula:
\int \ln t\,dt = u v - \int v\,du = t\ln t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt.
O integrando dentro é simples:
\int t\cdot\frac{1}{t}\,dt=\int 1\,dt = t.
Logo
\int \ln t\,dt = t\ln t - t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Volto à variável original x (substituindo t=x+1) e lembro do fator \tfrac{1}{2} que estava fora:
\tfrac{1}{2}\int \ln t\,dt = \tfrac{1}{2}\big(t\ln t - t\big) + C.
Substituindo t=x+1,
\tfrac{1}{2}\big((x+1)\ln(x+1) - (x+1)\big) + C.
Posso simplificar a parte linear:
\tfrac{1}{2}\big((x+1)\ln(x+1) - (x+1)\big) = \tfrac{1}{2}(x+1)\ln(x+1) - \tfrac{1}{2}(x+1).
Se quiser deixar ainda mais enxuto:
\tfrac{1}{2}(x+1)\ln(x+1) - \tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{2}.
Como -\tfrac{1}{2} é constante, podemos absorvê-la na constante de integração C. Assim uma forma limpa da primitiva é
\tfrac{1}{2}(x+1)\ln(x+1) - \tfrac{x}{2} + C.

Passo 6

Verificação rápida (checar derivada): calcule a derivada de
F(x)=\tfrac{1}{2}(x+1)\ln(x+1) - \tfrac{x}{2}.
Usando regra do produto e cadeia:
F'(x)=\tfrac{1}{2}\big[1\cdot\ln(x+1) + (x+1)\cdot\frac{1}{x+1}\big] - \tfrac{1}{2}.
Simplificando:
F'(x)=\tfrac{1}{2}\ln(x+1) + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\ln(x+1),
que é exatamente \ln\big(\sqrt{x+1}\big) pela igualdade \ln(\sqrt{x+1})=\tfrac{1}{2}\ln(x+1). Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{2}(x+1)\ln(x+1)-\tfrac{x}{2}+C

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