Nos Problemas 25-36, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
x \frac{d y}{d x}+y=4 x+1, \quad y(1)=8

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
x\frac{dy}{dx}+y=4x+1,\qquad y(1)=8.
Perguntas que o problema faz:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
  • Determinar o maior intervalo I em que essa solução está definida (e contém o ponto x=1).
Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve o termo x multiplicando \frac{dy}{dx}, portanto a equação não está definida em x=0.
  • A condição inicial é em x=1 (um ponto positivo), logo procuraremos um intervalo que contenha 1 e evite x=0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de primeira ordem (dividindo por x, lembrando que isso só vale para x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=4+\frac{1}{x}.
Explico o porquê: queremos isolar \frac{dy}{dx} e deixar a equação no formato \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), pois aí usamos um fator integrante. Aqui P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=4+\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). A fórmula é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Substituindo P(x)=\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{x}\,dx\Big)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Comentário didático: o valor absoluto aparece porque \int \tfrac{1}{x}dx=\ln|x|. Para aplicar o fator integrante numa região que não contenha 0 podemos escolher \mu(x)=x se estamos trabalhando com x>0, ou \mu(x)=-x se x<0. Como a condição inicial está em x=1>0, escolhemos \mu(x)=x (válida para x>0).

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x. A equação se torna
x\frac{dy}{dx}+y = x\Big(4+\frac{1}{x}\Big).
Observe que o lado esquerdo é a derivada do produto x y:
\frac{d}{dx}(x y)=x\frac{dy}{dx}+1\cdot y,
portanto podemos escrever
\frac{d}{dx}(x y)=4x+1.
Explicação: usar o fator integrante transforma a equação num total derivative, o que facilita integrar.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}(x y)\,dx = \int (4x+1)\,dx.
Isso dá
x y = 2x^2 + x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar y:
y(x)=\frac{2x^2+x+C}{x}=2x+1+\frac{C}{x},\qquad x\neq0.
Então a solução geral (para x\neq0) é y(x)=2x+1+\dfrac{C}{x}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=8 para determinar C:
8 = y(1)=2\cdot 1 + 1 + \frac{C}{1}=3+C.
Logo C=5. Substituindo em y(x):
y(x)=2x+1+\frac{5}{x}.

Passo 8

Determinar o maior intervalo I onde a solução está definida e contém x=1. A solução encontrada tem um termo \dfrac{5}{x}, então ela não está definida em x=0. Qualquer intervalo maximal que contenha 1 e não cruze 0 é (0,\infty). Portanto o maior intervalo que contém x=1 e onde a solução é válida é
I=(0,\infty).
Comentário final: se a condição inicial estivesse em um ponto negativo, o intervalo maximal seria (-\infty,0). A singularidade em x=0 impede unir as duas metades.

Resposta

y(x)=2x+1+\dfrac{5}{x} \
I=(0,\infty)

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