Nos Problemas 25-36, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
Perguntas que o problema faz:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. - Determinar o maior intervalo
em que essa solução está definida (e contém o ponto ).
Informações relevantes dadas:
- A equação envolve o termo
multiplicando , portanto a equação não está definida em . - A condição inicial é em
(um ponto positivo), logo procuraremos um intervalo que contenha e evite .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de primeira ordem (dividindo por
, lembrando que isso só vale para
):
Explico o porquê: queremos isolar
e deixar a equação no formato
, pois aí usamos um fator integrante. Aqui
e
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. A fórmula é
Substituindo
:
Comentário didático: o valor absoluto aparece porque
. Para aplicar o fator integrante numa região que não contenha
podemos escolher
se estamos trabalhando com
, ou
se
. Como a condição inicial está em
, escolhemos
(válida para
).
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. A equação se torna
Observe que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
portanto podemos escrever
Explicação: usar o fator integrante transforma a equação num total derivative, o que facilita integrar.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
:
Então a solução geral (para
) é
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
:
Logo
. Substituindo em
:
Passo 8
Determinar o maior intervalo
onde a solução está definida e contém
. A solução encontrada tem um termo
, então ela não está definida em
. Qualquer intervalo maximal que contenha
e não cruze
é
. Portanto o maior intervalo que contém
e onde a solução é válida é
Comentário final: se a condição inicial estivesse em um ponto negativo, o intervalo maximal seria
. A singularidade em
impede unir as duas metades.