Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida)
Informações dadas e o que se busca:
Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolhendo um método: aqui a melhor escolha é usar o método de integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê: a fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a diferencial de
(ou seja
) e
é uma diferencial que integramos para obter
(ou seja
). A ideia é escolher
de modo que
seja mais simples que
, e escolher
de modo que seja fácil encontrar
. No nosso caso é conveniente tomar
porque derivar o log nos dá uma forma racional que podemos simplificar.
Passo 3
Calculemos
e
:
Derivando :
Derivando
Integrando
:
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes.
Passo 4
Aplicando
obtemos
Simplificando o integrando:
Portanto
Passo 5
Agora simplificamos a integral racional. Observação útil:
Assim
Passo 6
Calcule as integrais simples:
e
porque sabemos que
. Substituindo de volta:
Então voltando para a expressão do Passo 4,
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Para verificar rapidamente (boa prática em prova), derivando o lado direito obtemos de volta
, confirmando que a primitiva está correta.