Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes:
\int \ln \left(x^{2}+1\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida)
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx.
Informações dadas e o que se busca:
\text{Integrando em relação a }x,\quad \text{procuramos uma função }F(x)\text{ tal que }F'(x)=\ln\left(x^{2}+1\right).çãçã
Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolhendo um método: aqui a melhor escolha é usar o método de integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê: a fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a diferencial de u (ou seja du = u'(x)\,dx) e dv é uma diferencial que integramos para obter v (ou seja v=\int dv). A ideia é escolher u de modo que du seja mais simples que u, e escolher dv de modo que seja fácil encontrar v. No nosso caso é conveniente tomar
u=\ln\left(x^{2}+1\right),\qquad dv=dx,
porque derivar o log nos dá uma forma racional que podemos simplificar.

Passo 3

Calculemos du e v:
Derivando u:
du = \frac{d}{dx}\ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Integrando dv:
v=\int dv=\int dx = x.
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes.

Passo 4

Aplicando \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - \int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Simplificando o integrando:
\int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.
Portanto
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Agora simplificamos a integral racional. Observação útil:
\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1}.
Assim
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int\left(1 - \frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Calcule as integrais simples:
\int 1\,dx = x,
e
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x),
porque sabemos que \frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^{2}}. Substituindo de volta:
\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = x - \arctan(x).
Então voltando para a expressão do Passo 4,
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2\bigl(x - \arctan(x)\bigr) + C.

Passo 7

Simplificando a expressão final:
\int \ln\left(x^{2}+1\right)\,dx = x\ln\left(x^{2}+1\right) - 2x + 2\arctan(x) + C.
Para verificar rapidamente (boa prática em prova), derivando o lado direito obtemos de volta \ln(x^{2}+1), confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

x\ln\left(x^{2}+1\right)-2x+2\arctan(x)+C

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