Calcule os seguintes limies, lembrando-se que \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1
\lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{sen} \frac{2}{x}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\lim_{x\to 0} x\,\sin\!\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr).
Aqui temos um produto de x, que tende a zero, por \sin(2/x), que oscila sem limite próprio. O conteúdo-chave é o teorema do confronto (sanduíche), usando que \sin u é sempre limitado entre -1 e 1.

Passo 2

Como para todo u\in\mathbb{R} vale
-1 \le \sin(u) \le 1,
fazendo u = \tfrac{2}{x} obtemos
-1 \le \sin\!\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) \le 1.
Multiplicando tudo por x em valor absoluto, isto é, considerando x positivo ou negativo, resulta
-|x| \;\le\; x\,\sin\!\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)\;\le\; |x|.

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que “espremem” x\sin(2/x):
\lim_{x\to0} -|x| = 0, \qquad \lim_{x\to0} |x| = 0.
Pelo teorema do confronto, como
-|x| \le x\,\sin\!\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) \le |x|
e ambos os limites laterais são zero, temos
\lim_{x\to0} x\,\sin\!\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr) = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados