Prove a sequinte fórmula
\left(f(x)^{g(x)}\right)^{\prime}=g(x) f(x)^{g(x)-1} f^{\prime}(x)+f(x)^{g(x)} g^{\prime}(x) \ln f(x) .

Passo 1

Vamos provar a fórmula da derivada de
h(x)=f(x)^{g(x)},
usando as ferramentas de cálculo: a regra da cadeia, a regra do produto e a derivada do logaritmo natural. Para isso é conveniente supor tacitamente que f(x)>0 em torno do ponto de interesse, de modo que \ln(f(x)) esteja bem definido.

Passo 2

Reescrevemos h(x) como uma exponencial composta, pois a derivada de \exp(\cdot) é direta com a regra da cadeia. Assim, definimos
h(x)=\exp\bigl(g(x)\,\ln(f(x))\bigr).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia a h(x)=\exp(u(x)), onde
u(x)=g(x)\,\ln\bigl(f(x)\bigr).
A derivada de \exp(u) é \exp(u)\cdot u'. Logo,
h'(x)=\exp\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x).

Passo 4

Agora calculamos u'(x) usando a regra do produto em
u(x)=g(x)\,\ln\bigl(f(x)\bigr).
Temos
\bigl[\ln(f(x))\bigr]'=\frac{f'(x)}{f(x)},
então
u'(x) =g'(x)\,\ln\bigl(f(x)\bigr) +g(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)}.

Passo 5

Substituindo em h'(x)=\exp(u(x))\,u'(x) e voltando à base f(x)^{g(x)}, obtemos
h'(x) =\exp\bigl(g(x)\ln(f(x))\bigr)\Bigl[ g'(x)\,\ln\bigl(f(x)\bigr) +g(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)} \Bigr].
Como \exp\bigl(g\ln f\bigr)=f^{\,g}, isso se reescreve como
h'(x) =f(x)^{g(x)}\,g'(x)\,\ln\bigl(f(x)\bigr) +f(x)^{g(x)}\,g(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)}.
Por fim, o segundo termo simplifica para
f(x)^{g(x)}\,g(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)} =g(x)\,f(x)^{g(x)-1}\,f'(x).

Resposta

\bigl(f(x)^{g(x)}\bigr)' = g(x)\,f(x)^{g(x)-1}\,f'(x) +f(x)^{g(x)}\,g'(x)\,\ln\bigl(f(x)\bigr).

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