Prove a sequinte fórmula
Passo 1
Vamos provar a fórmula da derivada de
usando as ferramentas de cálculo: a regra da cadeia, a regra do produto e a derivada do logaritmo natural. Para isso é conveniente supor tacitamente que
em torno do ponto de interesse, de modo que
esteja bem definido.
Passo 2
Reescrevemos
como uma exponencial composta, pois a derivada de
é direta com a regra da cadeia. Assim, definimos
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia a
, onde
A derivada de
é
. Logo,
Passo 4
Agora calculamos
usando a regra do produto em
Temos
então
Passo 5
Substituindo em
e voltando à base
, obtemos
Como
, isso se reescreve como
Por fim, o segundo termo simplifica para