Calcule os seguintes limites:
a) f(x)=pi^23-4(cos x1^2-cos 2 x2^2+cos 3 x3^2-cdots)

Passo 1

A questão nos dá a definição da função pela série
Temos
f(x)=pi^23-4l(cos x1^2-cos 2x2^2+cos 3x3^2-cdotsr)=pi^23-4sumn=1^infty(-1)^n-1cos(nx)n^2
O conteúdo aqui é expansão em série de Fourier de uma função polinomial simples (no caso, um polinômio de grau 2) no intervalo de período 2pi.

Passo 2

Para resolver, lembramos que a série de Fourier de
g(x)=x^2, xin[-pi,pi],
estendida periodicamente de período 2pi, é dada por
x^2=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^ncos(nx)n^2
Esse é um resultado clássico que se obtém aplicando a definição de coeficientes de Fourier para x^2.

Passo 3

Observe que na definição de f(x) figuram termos de sinal invertido em relação à série acima, pois temos (-1)^n-1 em vez de (-1)^n. Então façamos a troca de índice de sinais:
(-1)^n-1=-(-1)^n
Assim,
sumn=1^infty(-1)^n-1cos(nx)n^2 =-sumn=1^infty(-1)^ncos(nx)n^2
Logo,
f(x)=pi^23-4l(-sumn=1^infty(-1)^ncos(nx)n^2r) =pi^23+4sumn=1^infty(-1)^ncos(nx)n^2

Passo 4

Comparando com a série de Fourier de x^2, vemos que
f(x)=x^2,para xin[-pi,pi]
Isso termina a determinação de f(x).

Passo 5

Podemos verificar casos particulares como x=0 e x=pi para checar a coerência:
Para x=0 temos f(0)=0^2=0; já para x=pi temos f(pi)=pi^2.

Passo 6

Em resumo, a série dada na definição de f(x) soma exatamente à função x^2 no intervalo considerado.

Resposta

f(x)=x^{2}

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