Calcule os seguintes limites:
Passo 1
A questão nos dá a definição da função pela série
Temos
O conteúdo aqui é expansão em série de Fourier de uma função polinomial simples (no caso, um polinômio de grau 2) no intervalo de período
.
Passo 2
Para resolver, lembramos que a série de Fourier de
estendida periodicamente de período
, é dada por
Esse é um resultado clássico que se obtém aplicando a definição de coeficientes de Fourier para
.
Passo 3
Observe que na definição de
figuram termos de sinal invertido em relação à série acima, pois temos
em vez de
. Então façamos a troca de índice de sinais:
Assim,
Logo,
Passo 4
Comparando com a série de Fourier de
, vemos que
Isso termina a determinação de
.
Passo 5
Podemos verificar casos particulares como
e
para checar a coerência:
Para
temos
; já para
temos
.
Passo 6
Em resumo, a série dada na definição de
soma exatamente à função
no intervalo considerado.
Resposta
f(x)=x^{2}