Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
c) f(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os máximos e mínimos absolutos da função f(x,y)=x2−y2 definida em ℝ^2. Vamos primeiro usar inspeção e, depois, recorrer ao cálculo para confirmar.

Passo 2

Pela inspeção, tome y=0. Aí f(x,0)=x^2, que pode crescer sem limite (vai para +∞ quando |x|→∞), mostrando que não há limite superior. Tomando x=0, f(0,y)=−y^2, que vai para −∞ quando |y|→∞, mostrando que não há limite inferior. Logo, não existem máximos nem mínimos absolutos.

Passo 3

Agora vamos ao cálculo. Primeiro, achamos o gradiente:
nabla f(x,y)=(2x,,-2y)
Igualando a zero, temos o único ponto crítico (0,0).

Passo 4

Em seguida, montamos a Hessiana e analisamos sua assinatura:
Hf(x,y)=2 & 00 & -2
Os autovalores são +2 e −2, ou seja, a matriz é indefinida, caracterizando (0,0) como ponto de sela. Portanto não há máximo nem mínimo, nem mesmo local.

Passo 5

Como pela inspeção já vimos que f é ilimitada acima e abaixo, confirmamos que não existem extremos globais.

Resposta

Não existem máximos nem mínimos absolutos para f(x,y)=x2−y2.

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