Calcule os seguintes limites, apresentando os cálculos:
lim x -1^+ x^3+xx^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de x pela direita da função -1. Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites em Cálculo, onde a gente analisa como a função se comporta perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que acontece com o numerador e o denominador conforme $ x $ se aproxima de x^3+xx^3+1 por valores maiores que x .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: $ x^{3} + x $. Substituindo $ x $ por x^3 + x , temos:
x
Então, o numerador tende a -1 quando $ x $ se aproxima de (-1)^3 + (-1) = -1 - 1 = -2 .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: $ x^{3} + 1 $. Substituindo $ x $ por x^3 + 1 :
x
Isso significa que o denominador está se aproximando de zero. Mas precisamos saber de qual lado está se aproximando desse zero para entender o comportamento do limite.

Passo 4

Como estamos calculando o limite quando $ x $ se aproxima de x pela direita (ou seja, valores de $ x $ um pouquinho maiores que -1), vamos ver o sinal do denominador nesse intervalo.
Para valores de $ x $ ligeiramente maiores que x , digamos $ x = -0.999 $, calculamos:
-1
Então, o denominador está se aproximando de zero por valores positivos.

Passo 5

Agora, juntando as informações:
  • O numerador está se aproximando de -2.
  • O denominador está se aproximando de 0 por valores positivos.
Quando temos uma fração com um numerador negativo e um denominador que tende a um número muito pequeno positivo, o valor da fração tende a -infty.

Resposta

limx -1^+ x^3+xx^3+1 = -infty

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