Calcule a integral integral1^5(4 x^3-5 x^2x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida de 4x^3 - 5x^2x de x = 1 até x = 5. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
4x^3 - 5x^2x = 4x^3x - 5x^2x = 4x^2 - 5x
Então, a integral fica:
integral1^5 (4x^2 - 5x) , dx

Passo 3

Agora que simplificamos, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de x^n é x^n+1n+1. Aplicando isso:
  • Para 4x^2:
    integral 4x^2 , dx = 4 cdot x^33 = 43x^3
  • Para -5x:
    integral -5x , dx = -5 cdot x^22 = -52x^2
Então, a antiderivada é:
43x^3 - 52x^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, ou seja, de x = 1 até x = 5. Isso significa que vamos calcular:
[ 43x^3 - 52x^2 ]1^5 = ( 43(5)^3 - 52(5)^2 ) - ( 43(1)^3 - 52(1)^2 )

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • Para x = 5:
    43(5)^3 = 43 cdot 125 = 5003
    -52(5)^2 = -52 cdot 25 = -1252
    Então, para x = 5:
    5003 - 1252
  • Para x = 1:
    43(1)^3 = 43 cdot 1 = 43
    -52(1)^2 = -52 cdot 1 = -52
    Então, para x = 1:
    43 - 52
Agora, subtraímos os valores de x = 5 e x = 1:
( 5003 - 1252 ) - ( 43 - 52 ) = 5003 - 1252 - 43 + 52
Vamos simplificar:
( 5003 - 43 ) + ( -1252 + 52 ) = 4963 - 1202 = 4963 - 60
Para subtrair 60, convertendo para ter o mesmo denominador:
60 = 1803
Então:
4963 - 1803 = 3163

Resposta

A integral integral1^5(4 x^3-5 x^2x) dx vale 3163.

Exercícios relacionados