Calcule os seguintes limites:
\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{8 x^{3}-5 x^{2}+2 x-1}{3-4 x^{3}}-2 r\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{3}-5x^{2}+2x-1}{3-4x^{3}}-2r.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio 8x^{3}-5x^{2}+2x-1.
  • O denominador é a expressão 3-4x^{3}.
  • Há uma subtração de uma quantidade constante 2r (assumimos que r é uma constante independente de x).
  • A variável que tende ao infinito é x.

Passo 2

Primeiro conceito útil (regra de operações com limites): a operação de limite preserva soma e diferença quando os limites existem. Ou seja,
\lim_{x\to+\infty}\bigl(A(x)-2r\bigr)=\lim_{x\to+\infty}A(x)-\lim_{x\to+\infty}2r.
Como 2r é constante em relação a x, temos \lim_{x\to+\infty}2r=2r. Portanto basta calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{3}-5x^{2}+2x-1}{3-4x^{3}}
e subtrair 2r do resultado.

Passo 3

Estratégia para a fração: quando temos o limite de uma razão de polinômios quando x\to\pm\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (maior potência de x) em numerador e denominador. Uma forma sistemática de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{3}). Vou fazer isso passo a passo.

Passo 4

Dividindo numerador e denominador por x^{3} (exibindo as contas):
\frac{8x^{3}-5x^{2}+2x-1}{3-4x^{3}} = \frac{\dfrac{8x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{5x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{2x}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{3}}} {\dfrac{3}{x^{3}}-\dfrac{4x^{3}}{x^{3}}} = \frac{8-\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}} {\dfrac{3}{x^{3}}-4}.

Passo 5

Agora usamos o fato básico sobre funções x\mapsto 1/x^{k}: quando x\to+\infty então \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 para qualquer potência positiva k. Assim, ao tomar o limite termo a termo:
\lim_{x\to+\infty}\left(8-\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}\right)=8-0-0-0=8,
e
\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3}{x^{3}}-4\right)=0-4=-4.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{3}-5x^{2}+2x-1}{3-4x^{3}}=\frac{8}{-4}=-2.

Passo 6

Voltando à expressão original com a subtração de 2r, usamos a regra do Passo 2:
\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{3}-5x^{2}+2x-1}{3-4x^{3}}-2r = \Bigl(\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{3}-5x^{2}+2x-1}{3-4x^{3}}\Bigr)-2r = -2-2r.

Passo 7

Interpretação curta e intuitiva: como os dois polinômios têm o mesmo grau 3, o limite da razão é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos x^{3}, isto é 8/(-4)=-2. Subtrai-se então o constante 2r. Exemplo adicional rápido para fixar: se tivéssemos \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{2}+1}{5x^{2}-7}, o limite seria 3/5 pela mesma razão (coeficientes dos termos de maior grau).

Resposta

-2-2r

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