Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é a expressão
. - Há uma subtração de uma quantidade constante
(assumimos que é uma constante independente de ). - A variável que tende ao infinito é
.
Passo 2
Primeiro conceito útil (regra de operações com limites): a operação de limite preserva soma e diferença quando os limites existem. Ou seja,
Como
é constante em relação a
, temos
. Portanto basta calcular
e subtrair
do resultado.
Passo 3
Estratégia para a fração: quando temos o limite de uma razão de polinômios quando
, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (maior potência de
) em numerador e denominador. Uma forma sistemática de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Vou fazer isso passo a passo.
Passo 4
Dividindo numerador e denominador por
(exibindo as contas):
Passo 5
Agora usamos o fato básico sobre funções
: quando
então
para qualquer potência positiva
. Assim, ao tomar o limite termo a termo:
e
Portanto
Passo 6
Voltando à expressão original com a subtração de
, usamos a regra do Passo 2:
Passo 7
Interpretação curta e intuitiva: como os dois polinômios têm o mesmo grau
, o limite da razão é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos
, isto é
. Subtrai-se então o constante
. Exemplo adicional rápido para fixar: se tivéssemos
, o limite seria
pela mesma razão (coeficientes dos termos de maior grau).