(1,0 ponto) Considere a função f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{x+1}, \text { se } x \geq 0 \\\ \sqrt{-x}, \text { se } x<0\end{array}\right.. Esta função é contínua em x=0 ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{x+1}, & \text{se } x\geq 0,\\[4pt] \sqrt{-x}, & \text{se } x<0 \end{cases}
é contínua em 0. As informações relevantes dadas são:
  • Para x\geq 0 a função vale f(x)=\sqrt[3]{x+1}.
  • Para x<0 a função vale f(x)=\sqrt{-x}.
  • A pergunta única é: “Esta função é contínua em 0? Justifique.”]

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada de um jeito simples): uma função f é contínua em a se o limite de f(x) quando x se aproxima de a existe e é igual ao valor f(a). Em notação:
f \text{ é contínua em } a \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a} f(x) = f(a).éí
Para funções definidas por partes, é prático verificar os limites laterais: \lim_{x\to a^-} f(x) (pela esquerda) e \lim_{x\to a^+} f(x) (pela direita). O limite \lim_{x\to a} f(x) existe se, e somente se, as duas destas quantidades existirem e forem iguais. Então, para a=0 precisamos calcular as duas limites laterais e comparar com f(0).

Passo 3

Cálculo do limite pela direita: \lim_{x\to 0^+} f(x). Para x>0 usamos a expressão \sqrt[3]{x+1}. A raiz cúbica é uma função contínua em todo \mathbb{R} (intuitivamente: se um número se aproxima de 1, sua raiz cúbica se aproxima de \sqrt[3]{1}). Portanto podemos substituir o limite interno:
\lim_{x\to 0^+} \sqrt[3]{x+1} = \sqrt[3]{\lim_{x\to 0^+} (x+1)} = \sqrt[3]{1} = 1.
Logo \lim_{x\to 0^+} f(x)=1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda: \lim_{x\to 0^-} f(x). Para x<0 usamos a expressão \sqrt{-x}. Faça a substituição t=-x; quando x\to 0^- temos t\to 0^+. A função raiz quadrada é contínua em [0,\infty), então
\lim_{x\to 0^-} \sqrt{-x} = \lim_{t\to 0^+} \sqrt{t} = \sqrt{0} = 0.
Portanto \lim_{x\to 0^-} f(x)=0.

Passo 5

Calcule o valor da função no ponto 0: como 0\geq 0, usamos a primeira fórmula,
f(0)=\sqrt[3]{0+1}=\sqrt[3]{1}=1.

Passo 6

Compare as três quantidades obtidas:
  • \lim_{x\to 0^-} f(x)=0.
  • \lim_{x\to 0^+} f(x)=1.
  • f(0)=1.
Os limites laterais não são iguais ( 0\neq 1), portanto o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Como o limite não existe, a igualdade necessária para continuidade, \lim_{x\to 0} f(x)=f(0), não acontece. Conclusão: a função não é contínua em 0. (Tipo de descontinuidade: salto — os dois lados chegam a valores diferentes.)

Resposta

Não. A função não é contínua em 0.

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