(1,0 ponto) Considere a função
. Esta função é contínua em
? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua em
. As informações relevantes dadas são:
- Para
a função vale . - Para
a função vale . - A pergunta única é: “Esta função é contínua em
? Justifique.”]
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada de um jeito simples): uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor
. Em notação:
Para funções definidas por partes, é prático verificar os limites laterais:
(pela esquerda) e
(pela direita). O limite
existe se, e somente se, as duas destas quantidades existirem e forem iguais. Então, para
precisamos calcular as duas limites laterais e comparar com
.
Passo 3
Cálculo do limite pela direita:
. Para
usamos a expressão
. A raiz cúbica é uma função contínua em todo
(intuitivamente: se um número se aproxima de
, sua raiz cúbica se aproxima de
). Portanto podemos substituir o limite interno:
Logo
.
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda:
. Para
usamos a expressão
. Faça a substituição
; quando
temos
. A função raiz quadrada é contínua em
, então
Portanto
.
Passo 5
Calcule o valor da função no ponto
: como
, usamos a primeira fórmula,
Passo 6
Compare as três quantidades obtidas:
-
. -
. -
.
Os limites laterais não são iguais (
), portanto o limite
não existe. Como o limite não existe, a igualdade necessária para continuidade,
, não acontece. Conclusão: a função não é contínua em
. (Tipo de descontinuidade: salto — os dois lados chegam a valores diferentes.)
Resposta
Não. A função não é contínua em
.