Calcule os seguintes limites, caso existam.
lim x infty(1+2x)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinftyl(1+2xr)^x
Estamos tratando de uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar a técnica de transformação logarítmica, que reduz esse tipo de limite a uma forma 0/0 ou infty/infty passível de L’Hôpital.

Passo 2

Defina
y = l(1+2xr)^x
Tomando o logaritmo natural dos dois lados, obtemos
ln y = x ,ln!l(1+2xr)

Passo 3

Precisamos então calcular
L = limxtoinfty ln y = limxtoinfty x ,ln!l(1+2xr)
Reescrevendo como razão, temos
L = limxtoinfty ln!l(1+2xr)1/x,
que é uma forma tfrac00 quando xtoinfty.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
— Derivada do numerador
ddxln!l(1+2xr) = 11+tfrac2xcdotl(-tfrac2x^2r) = -2x^2l(1+2xr)
— Derivada do denominador
ddxl(tfrac1xr) = -1x^2
Logo,
L = limxtoinfty -2x^2l(1+2xr)-1x^2 = limxtoinfty21+2x = 2

Passo 5

Como ln yto 2, segue que yto e^2. Portanto
limxtoinftyl(1+2xr)^x = e^2

Resposta

e^2

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