Calcule os seguintes limites, caso existam:
10) lim x 0(tg(3 x) cossec(6 x))

Passo 1

Estamos calculando o limite limxto0l(tan(3x),csc(6x)r). Esse problema envolve limites trigonométricos e a forma fundamental limuto0sin uu=1.

Passo 2

Escrevemos as funções trigonométricas em termos de seno e cosseno:
tan(3x)=sin(3x)cos(3x), csc(6x)=1sin(6x)
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tan(3x),csc(6x)=sin(3x)cos(3x),sin(6x)

Passo 3

Para usar o limite sin u/uto1, reorganizamos os fatores assim:
sin(3x)cos(3x),sin(6x)=sin(3x)3x;6xsin(6x);3x6x;1cos(3x)
Aqui separamos sin(3x)/(3x) e 6x/sin(6x), mantivemos o fator constante 3x/(6x)=1/2 e o 1/cos(3x).

Passo 4

Agora aplicamos o limite em cada fator:
sin(3x)/(3x)to1
6x/sin(6x)to1
3x/(6x)=1/2
1/cos(3x)to1
Multiplicando todos: 1cdot1cdottfrac12cdot1=tfrac12.

Resposta

\tfrac12

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