Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potência sumn=0^+infty (-3)^n x^nraizn+1

Passo 1

Temos a série de potências sumn=0^+infty (-3)^n x^nraizn+1. O conteúdo é raio e intervalo de convergência de séries de potências; vamos usar o teste da razão para achar o raio.

Passo 2

Seja an = (-3)^nraizn+1. Aplicando o teste da razão, avaliamos
|an+1x^n+1anx^n| =|(-3)^n+1raizn+2cdotraizn+1(-3)^ncdot x| =3|x|raizn+1n+2,

Passo 3

Fazendo ntoinfty vemos que raiztfracn+1n+2to1, então a condição de convergência é
3|x|<1
o que dá
|x|<13
Logo o raio de convergência é R=tfrac13.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=tfrac13, a série fica
sumn=0^+infty(-3)^nraizn+1l(tfrac13r)^n =sumn=0^+infty(-1)^nraizn+1,
que converge pelo teste de Leibniz (é alternada, os termos decrescem em módulo e tendem a zero).

Passo 5

Para x=-tfrac13, a série vira
sumn=0^+infty(-3)^nraizn+1l(-tfrac13r)^n =sumn=0^+infty1raizn+1,
que é uma p-série com p=1/2<=1 e, portanto, diverge.

Passo 6

Assim, o intervalo de convergência é
-tfrac13 < x <= tfrac13

Resposta

Raio de convergência: R=tfrac13. Intervalo de convergência: -tfrac13,,tfrac13].

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