Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potência
Passo 1
Temos a série de potências
. O conteúdo é raio e intervalo de convergência de séries de potências; vamos usar o teste da razão para achar o raio.
Passo 2
Seja
. Aplicando o teste da razão, avaliamos
Passo 3
Fazendo
ntoinfty vemos que
raiztfracn+1n+2to1 , então a condição de convergência é
o que dá
Logo o raio de convergência é
R=tfrac13 .
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Parax=tfrac13 , a série fica
Para
que converge pelo teste de Leibniz (é alternada, os termos decrescem em módulo e tendem a zero).
Passo 5
Para
x=-tfrac13 , a série vira
que é uma p-série com
p=1/2<=1 e, portanto, diverge.
Passo 6
Assim, o intervalo de convergência é
Resposta
Raio de convergência:
R=tfrac13 . Intervalo de convergência:
-tfrac13,,tfrac13] .