Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique.
lim x 2 x^2-4x-2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de uma função quando $ x $ se aproxima de 2. Isso faz parte do estudo de limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões algébricas e aplicar algumas regras básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite assim.
A função dada é:
x = 2
Substituindo $ x = 2 $:
lim x 2 x^2-4x-2
Obtivemos uma expressão do tipo $ \frac{0}{0} $, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite dessa forma e precisamos manipular a expressão para resolver.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador $ x^2 - 4 $. Reconhecemos que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - 4

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração na expressão original do limite:
(x - 2)(x + 2)x - 2
Perceba que o termo $ (x - 2) $ está tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo, desde que $ x \neq 2 $ (o que é válido porque estamos calculando o limite quando $ x $ se aproxima de 2, mas não exatamente igual a 2):
(x - 2)

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada $ x + 2 $, podemos calcular o limite substituindo $ x = 2 $:
x + 2

Resposta

O limite é igual a 4.

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