Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de uma função quando $ x $ se aproxima de 2. Isso faz parte do estudo de limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões algébricas e aplicar algumas regras básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite assim.
A função dada é:
Substituindo $ x = 2 $:
Obtivemos uma expressão do tipo $ \frac{0}{0} $, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite dessa forma e precisamos manipular a expressão para resolver.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador $ x^2 - 4 $. Reconhecemos que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Passo 4
Agora, substituímos a fatoração na expressão original do limite:
Perceba que o termo $ (x - 2) $ está tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo, desde que $ x \neq 2 $ (o que é válido porque estamos calculando o limite quando $ x $ se aproxima de 2, mas não exatamente igual a 2):
Passo 5
Agora, com a expressão simplificada $ x + 2 $, podemos calcular o limite substituindo $ x = 2 $:
Resposta
O limite é igual a 4.