Determine se a integral converge ou diverge.
integral1^infty 1+e^-xx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a integral integral1^infty 1+e^-xx , dx converge ou diverge. Estamos lidando com integrais impróprias, onde o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de integrais, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: 1 + e^-xx. Ela pode ser dividida em duas partes: 1x e e^-xx. Então, a integral pode ser escrita como:
integral1^infty 1x , dx + integral1^infty e^-xx , dx

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral da 1x:
integral1^infty 1x , dx
Essa é a famosa integral do logaritmo, que avalia para ln(x) no limite de 1 até o infinito. Sabemos que ln(x) cresce sem limites quando x vai para o infinito, ou seja, essa integral diverge.
  1. Integral da e^-xx:
integral1^infty e^-xx , dx
Aqui, temos uma função que decai exponencialmente devido ao e^-x. As funções que decaem exponencialmente geralmente têm integrais convergentes. De fato, essa integral é conhecida por convergir.

Passo 4

Embora a segunda parte da nossa integral ( integral e^-xx dx) convirja, a primeira parte ( integral 1x dx) diverge. Quando somamos uma quantidade infinita (divergente) com uma finita ou também infinita, o resultado geral será infinito.

Resposta

A integral integral1^infty 1+e^-xx , dx diverge.

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