Determine se a integral converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a integral
converge ou diverge. Estamos lidando com integrais impróprias, onde o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de integrais, como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando:
. Ela pode ser dividida em duas partes:
e
. Então, a integral pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente.
- Integral da
:
Essa é a famosa integral do logaritmo, que avalia para
no limite de 1 até o infinito. Sabemos que
cresce sem limites quando
vai para o infinito, ou seja, essa integral diverge.
- Integral da
:
Aqui, temos uma função que decai exponencialmente devido ao
. As funções que decaem exponencialmente geralmente têm integrais convergentes. De fato, essa integral é conhecida por convergir.
Passo 4
Embora a segunda parte da nossa integral (
) convirja, a primeira parte (
) diverge. Quando somamos uma quantidade infinita (divergente) com uma finita ou também infinita, o resultado geral será infinito.
Resposta
A integral
diverge.