Calcule os seguintes limites, caso existam:
7) lim x 1+ raizx^2-1+raizx-1raizx-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1^+raizx^2-1+raizx-1raizx-1. Como ao substituir diretamente em x=1 obtemos uma forma indeterminada 0/0, vamos usar uma mudança de variável e manipular radicais.

Passo 2

Seja h = x - 1. Então quando x to 1^+, temos h to 0^+ e x = 1 + h. Assim reescrevemos cada termo em função de h:
Reescrevendo os radicais, temos
raizx^2 - 1 = raiz(1+h)^2 - 1 = raiz2h + h^2 = raizh,raiz2 + h,
raizx - 1 = raiz1 + h - 1
Logo o numerador vira
raizh,raiz2 + h + (raiz1 + h - 1)

Passo 3

Agora dividimos pelo denominador raizx-1 = raizh, obtendo
raizh,raiz2 + hraizh + raiz1+h - 1raizh = raiz2 + h + raiz1+h - 1raizh

Passo 4

Faltam só avaliar o limite de cada termo quando hto0^+:
  • raiz2 + htoraiz2.
  • Para raiz1+h-1raizh, racionalizamos:
raiz1+h-1raizh = (raiz1+h-1)(raiz1+h+1)raizh(raiz1+h+1) = hraizh(raiz1+h+1) = raizhraiz1+h+1 to 0
Somando os dois resultados, o limite é raiz2 + 0 = raiz2.

Resposta

raiz2

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