Seja w=i+j+k in R^3. Sabendo que o vetor v em R^3 é ortogonal ao eixo-x forma um angulo agudo com o eixo-z, tem norma raiz7 e é tal que v cdot w=3, ache v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor w = i + j + k no espaço tridimensional R^3. Precisamos encontrar o vetor v que satisfaz as seguintes condições:
  1. v é ortogonal ao eixo-x.
  2. v forma um ângulo agudo com o eixo-z.
  3. A norma de v é raiz7.
  4. O produto escalar v cdot w = 3.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de ortogonalidade, produto escalar, norma de vetores e análise de componentes vetoriais.

Passo 2

Começamos analisando a primeira condição: v é ortogonal ao eixo-x. No espaço tridimensional, o eixo-x é representado pelo vetor unitário i = (1, 0, 0). Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero.
Então, se v = (vx, vy, vz), a condição de ortogonalidade é:
v cdot i = vx cdot 1 + vy cdot 0 + vz cdot 0 = vx = 0
Portanto, a componente x de v é zero:
vx = 0

Passo 3

Agora, considerando que v forma um ângulo agudo com o eixo-z. O eixo-z é representado pelo vetor unitário k = (0, 0, 1). Para que o ângulo entre v e k seja agudo, o produto escalar entre eles deve ser positivo:
v cdot k = vx cdot 0 + vy cdot 0 + vz cdot 1 = vz > 0
Então, temos:
vz > 0

Passo 4

A próxima condição é que a norma de v seja raiz7. A norma de um vetor v = (vx, vy, vz) é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Substituindo a norma dada:
raizvx^2 + vy^2 + vz^2 = raiz7
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
vx^2 + vy^2 + vz^2 = 7
Como já sabemos que vx = 0, a equação simplifica para:
vy^2 + vz^2 = 7

Passo 5

A última condição é que o produto escalar v cdot w = 3. Sabendo que w = i + j + k = (1, 1, 1) e v = (0, vy, vz), temos:
v cdot w = 0 cdot 1 + vy cdot 1 + vz cdot 1 = vy + vz = 3
Então, a relação entre vy e vz é:
vy + vz = 3

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
vy + vz = 3 vy^2 + vz^2 = 7
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar vy em função de vz:
vy = 3 - vz
Substituímos essa expressão na segunda equação:
(3 - vz)^2 + vz^2 = 7
Expandindo o quadrado:
9 - 6vz + vz^2 + vz^2 = 7
Simplificando:
2vz^2 - 6vz + 9 = 7
Subtraindo 7 de ambos os lados:
2vz^2 - 6vz + 2 = 0
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
vz^2 - 3vz + 1 = 0

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática:
vz^2 - 3vz + 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
vz = 3 pm raiz9 - 4 cdot 1 cdot 12 = 3 pm raiz52
Como já sabemos que vz > 0 (ângulo agudo com o eixo-z), consideramos ambas as soluções positivas:
vz = 3 + raiz52 ou vz = 3 - raiz52

Passo 8

Usando a relação vy = 3 - vz, encontramos vy para cada valor de vz:
Para vz = 3 + raiz52:
vy = 3 - 3 + raiz52 = 6 - 3 - raiz52 = 3 - raiz52
Para vz = 3 - raiz52:
vy = 3 - 3 - raiz52 = 6 - 3 + raiz52 = 3 + raiz52

Resposta

Portanto, os vetores v que satisfazem todas as condições são:
v = (0, 3 - raiz52, 3 + raiz52) ou v = (0, 3 + raiz52, 3 - raiz52)

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