Seja
. Sabendo que o vetor
em
é ortogonal ao eixo-x forma um angulo agudo com o eixo-z, tem norma
e é tal que
, ache
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor
no espaço tridimensional
. Precisamos encontrar o vetor
que satisfaz as seguintes condições:
-
é ortogonal ao eixo-x. -
forma um ângulo agudo com o eixo-z. - A norma de
é . - O produto escalar
.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de ortogonalidade, produto escalar, norma de vetores e análise de componentes vetoriais.
Passo 2
Começamos analisando a primeira condição:
é ortogonal ao eixo-x. No espaço tridimensional, o eixo-x é representado pelo vetor unitário
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero.
Então, se
, a condição de ortogonalidade é:
Portanto, a componente x de
é zero:
Passo 3
Agora, considerando que
forma um ângulo agudo com o eixo-z. O eixo-z é representado pelo vetor unitário
. Para que o ângulo entre
e
seja agudo, o produto escalar entre eles deve ser positivo:
Então, temos:
Passo 4
A próxima condição é que a norma de
seja
. A norma de um vetor
é dada por:
Substituindo a norma dada:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Como já sabemos que
, a equação simplifica para:
Passo 5
A última condição é que o produto escalar
. Sabendo que
e
, temos:
Então, a relação entre
e
é:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em função de
:
Substituímos essa expressão na segunda equação:
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Subtraindo 7 de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como já sabemos que
(ângulo agudo com o eixo-z), consideramos ambas as soluções positivas:
Passo 8
Usando a relação
, encontramos
para cada valor de
:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, os vetores
que satisfazem todas as condições são: