Sejam y=m1 x+b1 e y=m2 x+b2, onde mi, b1 in R, i 1,2, duas retas no plano cartesiano.
Utilizando seus conhecimentos de cálculo vetorial, mostre que r1 perp r2 se, e somente se, valer a condição m1 m2=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no plano cartesiano: $ y = m_{1}x + b_{1} $ e $ y = m_{2}x + b_{2} y = m1x + b1 áã r_{1} \perp r_{2} $) se, e somente se, o produto dos seus coeficientes angulares for igual a -1, ou seja, $ m_{1}m_{2} = -1 $. Pra isso, vamos precisar entender como relacionar vetores e coeficientes angulares das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada reta pode ser associada a um vetor direcionador. Para a reta $ y = m_{1}x + b_{1} $, podemos escolher dois pontos quaisquer, como $ (0, b_{1}) $ e $ (1, m_{1} + b_{1}) $. O vetor direcionador $ \vec{v_{1}} $ dessa reta será a diferença entre esses pontos:
y = m1x + b1
De forma similar, para a reta $ y = m_{2}x + b_{2} $, o vetor direcionador $ \vec{v_{2}} $ é:
(0, b1)

Passo 3

Agora, para determinar se as retas são perpendiculares, precisamos verificar se os vetores direcionadores são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto interno (ou escalar) deles for zero. O produto interno de $ \vec{v_{1}} $ e $ \vec{v_{2}} $ é:
v1
Para que as retas sejam perpendiculares, esse produto interno deve ser igual a zero:
v2

Passo 4

Resolvendo a equação acima para $ m_{1}m_{2} $:
m1m2
Isso mostra que, para que as retas sejam perpendiculares, o produto dos coeficientes angulares deve ser igual a -1.

Resposta

Então, concluímos que as retas $ r_{1} $ e $ r_{2} $ são perpendiculares se, e somente se, $ m_{1}m_{2} = -1 $.

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