Sejam
e
, onde
, duas retas no plano cartesiano.
Utilizando seus conhecimentos de cálculo vetorial, mostre que
se, e somente se, valer a condição
.
Utilizando seus conhecimentos de cálculo vetorial, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no plano cartesiano: $ y = m_{1}x + b_{1} $ e $ y = m_{2}x + b_{2}
r_{1} \perp r_{2} $) se, e somente se, o produto dos seus coeficientes angulares for igual a -1, ou seja, $ m_{1}m_{2} = -1 $. Pra isso, vamos precisar entender como relacionar vetores e coeficientes angulares das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada reta pode ser associada a um vetor direcionador. Para a reta $ y = m_{1}x + b_{1} $, podemos escolher dois pontos quaisquer, como $ (0, b_{1}) $ e $ (1, m_{1} + b_{1}) $. O vetor direcionador $ \vec{v_{1}} $ dessa reta será a diferença entre esses pontos:
De forma similar, para a reta $ y = m_{2}x + b_{2} $, o vetor direcionador $ \vec{v_{2}} $ é:
Passo 3
Agora, para determinar se as retas são perpendiculares, precisamos verificar se os vetores direcionadores são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto interno (ou escalar) deles for zero. O produto interno de $ \vec{v_{1}} $ e $ \vec{v_{2}} $ é:
Para que as retas sejam perpendiculares, esse produto interno deve ser igual a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação acima para $ m_{1}m_{2} $:
Isso mostra que, para que as retas sejam perpendiculares, o produto dos coeficientes angulares deve ser igual a -1.
Resposta
Então, concluímos que as retas $ r_{1} $ e $ r_{2} $ são perpendiculares se, e somente se, $ m_{1}m_{2} = -1 $.