Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=\sqrt[n]{x}, \forall n \in \mathbb{N};

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde f(x)=\sqrt[n]{x} para n\in\mathbb{N}. Vou listar as informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}.
  • O domínio de f depende da paridade de n: se n é par, o domínio é x\ge 0; se n é ímpar, o domínio é todo \mathbb{R}.
  • O limite é a diferença quociente clássico (a definição do derivada), portanto é natural esperar que ele dê a derivada de f nos pontos onde ela existe.
  • Precisamos tratar separadamente os casos em que x>0, x=0 e, quando aplicável, x<0; e também separar o caso n=1 (que é linear) do caso n\ge 2.

Passo 2

Para manipular a expressão usemos uma técnica algébrica útil: se você coloca
u=(x+h)^{1/n},\qquad v=x^{1/n},
então u^n=x+h e v^n=x, logo
u^n-v^n=h.
A diferença quociente pode ser escrita em termos de u e v:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{u-v}{h}.
Usando h=u^n-v^n, temos
\frac{u-v}{h}=\frac{u-v}{u^n-v^n}.

Passo 3

Agora aplicamos a fatoração conhecida para diferenças de potências:
u^n-v^n=(u-v)\bigl(u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+uv^{n-2}+v^{n-1}\bigr).
Dividindo ambos os lados por u-v (quando u\neq v, que equivale a h\neq 0), obtemos
\frac{u^n-v^n}{u-v}=u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+v^{n-1}.
Invertendo essa igualdade (novamente para h\neq 0),
\frac{u-v}{u^n-v^n}=\frac{1}{u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+v^{n-1}}.
Portanto a diferença quociente vale
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+v^{n-1}}.

Passo 4

Para tomar o limite quando h\to 0 note que u=(x+h)^{1/n}\to x^{1/n}=v. Como soma e produto são operações contínuas, cada termo u^{k}v^{\,n-1-k} tende a v^{n-1}. Como há n termos iguais no somatório, o denominador tende a n v^{n-1}. Logo, tomando limite em ambos os lados,
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{n v^{n-1}}.
Substituindo v=x^{1/n} obtemos a expressão fechada
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{n}\,x^{\frac{1}{n}-1}.
Aqui explico o que significa essa potência: x^{\frac{1}{n}-1}=x^{(1-n)/n}=\dfrac{1}{x^{(n-1)/n}} quando x\neq 0.

Passo 5

Agora precisamos discutir os casos especiais e as restrições de domínio:
  • Caso n=1: f(x)=x. A diferença quociente é sempre 1, então o limite é 1 para todo x.
  • Caso n\ge 2 e x\neq 0: a dedução do passo anterior vale sem problemas sempre que x está no interior do domínio de f. Assim a fórmula
\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
é o valor do limite para x>0, e também vale para x<0 quando n é ímpar (pois para n ímpar as potências envolvidas são reais e a operação acima é válida).
  • Caso x=0:
    • Se n=1 então, como dito, o limite é 1.
    • Se n\ge 2: calculemos diretamente a diferença quociente em x=0: \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{h^{1/n}}{h}=h^{\frac{1}{n}-1}=h^{\frac{1-n}{n}}.Quando h\to 0^+ isso tende para +\infty (porque o expoente \frac{1-n}{n} é negativo). Para n ímpar, a mesma expressão para h\to 0^- também tende para +\infty (pois h^{1/n} é negativo e o quociente dá um valor positivo que explode), logo o limite bilateral é +\infty (diverge). Para n par, a função não está definida para x+h<0, então o limite bilateral não existe (não há aproximação pela esquerda); o limite pela direita existe e vale +\infty.

Resposta

Se n=1: \;1
Se n\ge 2 e x\neq 0: \;\displaystyle \frac{1}{n}\,x^{\frac{1}{n}-1}
Se x=0 e n\ge 2: \; para n ímpar o limite bilateral diverge para +\infty; para n par o limite bilateral não existe (o limite pela direita é +\infty).

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