Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
onde
para
. Vou listar as informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é
. - O domínio de
depende da paridade de : se é par, o domínio é ; se é ímpar, o domínio é todo . - O limite é a diferença quociente clássico (a definição do derivada), portanto é natural esperar que ele dê a derivada de
nos pontos onde ela existe. - Precisamos tratar separadamente os casos em que
, e, quando aplicável, ; e também separar o caso (que é linear) do caso .
Passo 2
Para manipular a expressão usemos uma técnica algébrica útil: se você coloca
então
e
, logo
A diferença quociente pode ser escrita em termos de
e
:
Usando
, temos
Passo 3
Agora aplicamos a fatoração conhecida para diferenças de potências:
Dividindo ambos os lados por
(quando
, que equivale a
), obtemos
Invertendo essa igualdade (novamente para
),
Portanto a diferença quociente vale
Passo 4
Para tomar o limite quando
note que
. Como soma e produto são operações contínuas, cada termo
tende a
. Como há
termos iguais no somatório, o denominador tende a
. Logo, tomando limite em ambos os lados,
Substituindo
obtemos a expressão fechada
Aqui explico o que significa essa potência:
quando
.
Passo 5
Agora precisamos discutir os casos especiais e as restrições de domínio:
- Caso
: . A diferença quociente é sempre , então o limite é para todo . - Caso
e : a dedução do passo anterior vale sem problemas sempre que está no interior do domínio de . Assim a fórmula
é o valor do limite para
, e também vale para
quando
é ímpar (pois para
ímpar as potências envolvidas são reais e a operação acima é válida).
- Caso
: - Se
então, como dito, o limite é . - Se
: calculemos diretamente a diferença quociente em : Quando isso tende para (porque o expoente é negativo). Para ímpar, a mesma expressão para também tende para (pois é negativo e o quociente dá um valor positivo que explode), logo o limite bilateral é (diverge). Para par, a função não está definida para , então o limite bilateral não existe (não há aproximação pela esquerda); o limite pela direita existe e vale .
- Se
Resposta
Se
:
Se e
:
Se e
:
para
ímpar o limite bilateral diverge para
; para
par o limite bilateral não existe (o limite pela direita é
).
Se
Se