Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=e^{x^{2}};

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde foi dada a função f por
f(x)=e^{x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Função: }f(x)=e^{x^{2}}.çã
\text{Expressão cujo limite devemos calcular: }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.ã
Meta: encontrar o valor numérico (em função de x) desse limite quando h\to 0.

Passo 2

Vamos escrever f(x+h) de forma conveniente. Primeiro expandimos (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Portanto
f(x+h)=e^{(x+h)^{2}}=e^{x^{2}+2xh+h^{2}}.
Usando a propriedade da exponencial e^{a+b}=e^{a}e^{b}, obtemos
f(x+h)=e^{x^{2}}\,e^{2xh+h^{2}}.

Passo 3

Substituímos na diferença do numerador:
f(x+h)-f(x)=e^{x^{2}}\,e^{2xh+h^{2}}-e^{x^{2}}=e^{x^{2}}\bigl(e^{2xh+h^{2}}-1\bigr).
Logo o quociente fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^{x^{2}}\cdot\frac{e^{2xh+h^{2}}-1}{h}.
A ideia agora é analisar o limite da segunda fração quando h\to 0.

Passo 4

Definimos t=2xh+h^{2}. Observação: quando h\to 0, temos t\to 0, pois t é combinação polinomial em h. Queremos usar a propriedade conhecida do exponencial:
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Essa propriedade pode ser vista expandindo e^{t} em série: e^{t}=1+t+\tfrac{t^{2}}{2}+\cdots, então (e^{t}-1)/t\to 1 quando t\to 0. Agora escrevemos a fração de modo a produzir esse quociente:
\frac{e^{2xh+h^{2}}-1}{h}=\frac{e^{t}-1}{h}=\frac{e^{t}-1}{t}\cdot\frac{t}{h}.
Mas
\frac{t}{h}=\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h.
Portanto
\frac{e^{2xh+h^{2}}-1}{h}=\frac{e^{t}-1}{t}\cdot(2x+h).

Passo 5

Voltando ao quociente original e usando a expressão acima:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^{x^{2}}\cdot\frac{e^{t}-1}{t}\cdot(2x+h).
Agora tomamos limite quando h\to 0. Como t\to 0 quando h\to 0, podemos usar
\lim_{h\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1
e
\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.
Logo, pelo produto de limites,
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^{x^{2}}\cdot 1\cdot 2x=2x\,e^{x^{2}}.

Resposta

2x\,e^{x^{2}}

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