Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
onde foi dada a função
por
Informações relevantes fornecidas:
Meta: encontrar o valor numérico (em função de
) desse limite quando
.
Passo 2
Vamos escrever
de forma conveniente. Primeiro expandimos
:
Portanto
Usando a propriedade da exponencial
, obtemos
Passo 3
Substituímos na diferença do numerador:
Logo o quociente fica
A ideia agora é analisar o limite da segunda fração quando
.
Passo 4
Definimos
. Observação: quando
, temos
, pois
é combinação polinomial em
. Queremos usar a propriedade conhecida do exponencial:
Essa propriedade pode ser vista expandindo
em série:
, então
quando
. Agora escrevemos a fração de modo a produzir esse quociente:
Mas
Portanto
Passo 5
Voltando ao quociente original e usando a expressão acima:
Agora tomamos limite quando
. Como
quando
, podemos usar
e
Logo, pelo produto de limites,