Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=e^{2 x};

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando f(x)=e^{2x}.
Informações dadas: a função é f(x)=e^{2x}. O que precisamos achar é o valor do quociente incremental quando h tende a zero — ou seja, a derivada de f em x pela definição do limite.

Passo 2

Escrevo explicitamente o quociente dado substituindo f(x)=e^{2x}:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{e^{2(x+h)}-e^{2x}}{h}.

Passo 3

Uso a propriedade dos exponenciais e^{a+b}=e^{a}e^{b} para separar os fatores:
e^{2(x+h)}=e^{2x+2h}=e^{2x}e^{2h}.
Substituindo na expressão do quociente:
\frac{e^{2x}e^{2h}-e^{2x}}{h}.

Passo 4

Fatoro e^{2x}, que não depende de h, ficando
\frac{e^{2x}(e^{2h}-1)}{h}=e^{2x}\cdot\frac{e^{2h}-1}{h}.

Passo 5

Vamos tomar o limite quando h\to 0. Como e^{2x} é constante em relação a h, posso puxá-la para fora do limite:
\lim_{h\to 0} e^{2x}\cdot\frac{e^{2h}-1}{h}=e^{2x}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^{2h}-1}{h}.

Passo 6

Para calcular \lim_{h\to 0}\frac{e^{2h}-1}{h} faço a substituição u=2h. Quando h\to 0 temos u\to 0 e h=\dfrac{u}{2}. Assim
\frac{e^{2h}-1}{h}=\frac{e^{u}-1}{u/2}=2\cdot\frac{e^{u}-1}{u}.

Passo 7

Usamos o limite conhecido (que pode ser visto pela série de Taylor de e^{u} ou por l’Hôpital):
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{e^{2h}-1}{h}=2\cdot 1=2.

Passo 8

Voltando à expressão com e^{2x}:
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}.
Comentário rápido (dica para prova): isso mostra que a derivada de e^{2x} é 2e^{2x}. Uma alternativa curta é aplicar a regra da cadeia: derivada de e^{u} é e^{u} vezes u', com u=2x e u'=2.

Resposta

2e^{2x}

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