Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite
quando
.
Informações dadas: a função é . O que precisamos achar é o valor do quociente incremental quando
tende a zero — ou seja, a derivada de
em
pela definição do limite.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Escrevo explicitamente o quociente dado substituindo
:
Passo 3
Uso a propriedade dos exponenciais
para separar os fatores:
Substituindo na expressão do quociente:
Passo 4
Fatoro
, que não depende de
, ficando
Passo 5
Vamos tomar o limite quando
. Como
é constante em relação a
, posso puxá-la para fora do limite:
Passo 6
Para calcular
faço a substituição
. Quando
temos
e
. Assim
Passo 7
Usamos o limite conhecido (que pode ser visto pela série de Taylor de
ou por l’Hôpital):
Portanto
Passo 8
Voltando à expressão com
:
Comentário rápido (dica para prova): isso mostra que a derivada de
é
. Uma alternativa curta é aplicar a regra da cadeia: derivada de
é
vezes
, com
e
.