Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=\ln (x);

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde f(x)=\ln(x). Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\ln(x).
  • O limite é a razão incremental de f em x quando h\to0.
  • Para que f(x+h) esteja definido para h próximos de 0 é necessário que x>0 (assim existe um intervalo de h em que x+h>0). Portanto consideraremos x>0.

Passo 2

Vamos simplificar a diferença de logaritmos usando a propriedade básica dos logaritmos:
\ln(a)-\ln(b)=\ln\!\left(\frac{a}{b}\right).
Aplicando isso na expressão do quociente de diferenças obtemos
\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h}.

Passo 3

Escrevemos \dfrac{x+h}{x}=1+\dfrac{h}{x}. Assim
\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{h}{x}\right)}{h}.
Para simplificar a passagem do limite, fazemos a substituição
t=\frac{h}{x}.
Quando h\to0 temos t\to0. Além disso h=xt. Substituindo na expressão:
\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{h}{x}\right)}{h}=\frac{\ln(1+t)}{xt}=\frac{1}{x}\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 4

Pelo que encontramos, o limite pedido se reduz a
\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=\frac{1}{x}\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t},
pois \dfrac{1}{x} é constante em relação a t.

Passo 5

Agora precisamos calcular \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}. Uma forma elementar e rigorosa é usar a representação integral de \ln:
\ln(1+t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{1+u}\,du.
Para t>0 temos \frac{1}{1+t}\le \frac{1}{1+u}\le 1 para u\in[0,t]. Integrando essa desigualdade em u de 0 a t obtemos
\frac{t}{1+t}\le \ln(1+t)\le t.
Dividindo por t>0 vem
\frac{1}{1+t}\le \frac{\ln(1+t)}{t}\le 1.
Fazendo t\to0^+ obtemos, pelo teorema do confronto, \displaystyle\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Para t\in(-1,0) (caso t negativo, lembrando que \ln(1+t) exige t>-1) a mesma ideia funciona: integrando de t até 0 e trocando sinais você chega às desigualdades equivalentes que também levam ao limite 1 quando t\to0^-. Portanto
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 4 e usando o resultado do Passo 5, concluímos que
\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x},
valendo para x>0. Isso significa que a razão incremental de \ln(x) em x tende a \dfrac{1}{x} quando h\to0 — na linguagem de cálculo, é a derivada de \ln(x).

Resposta

\dfrac{1}{x}, para x>0

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