Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
onde
. Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O limite é a razão incremental de
em quando . - Para que
esteja definido para próximos de é necessário que (assim existe um intervalo de em que ). Portanto consideraremos .
Passo 2
Vamos simplificar a diferença de logaritmos usando a propriedade básica dos logaritmos:
Aplicando isso na expressão do quociente de diferenças obtemos
Passo 3
Escrevemos
. Assim
Para simplificar a passagem do limite, fazemos a substituição
Quando
temos
. Além disso
. Substituindo na expressão:
Passo 4
Pelo que encontramos, o limite pedido se reduz a
pois
é constante em relação a
.
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Uma forma elementar e rigorosa é usar a representação integral de
:
Para
temos
para
. Integrando essa desigualdade em
de
a
obtemos
Dividindo por
vem
Fazendo
obtemos, pelo teorema do confronto,
.
Para
(caso
negativo, lembrando que
exige
) a mesma ideia funciona: integrando de
até
e trocando sinais você chega às desigualdades equivalentes que também levam ao limite
quando
. Portanto
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 4 e usando o resultado do Passo 5, concluímos que
valendo para
. Isso significa que a razão incremental de
em
tende a
quando
— na linguagem de cálculo, é a derivada de
.