Use o teste da comparação no limite para mostrar que a série dada converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge, utilizando o teste da comparação no limite. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral é
. - Para todo
, temos (os termos são positivos). - O que se pede: mostrar convergência ou divergência da série.
Passo 2
Apresentando a ferramenta que vamos usar (explicada passo a passo):
- Teste da comparação no limite (enunciado): sejam
e . Se existe o limite
e
, então a série
e a série
são ambas convergentes ou ambas divergentes. Em palavras: se os termos têm comportamento assintótico proporcional, as séries têm o mesmo destino.
- Outro conceito importante que usaremos: série p (p-série). A p-série é
Essa p-série converge se, e somente se,
; diverge se
. Aqui é um resultado padrão que usaremos como comparação.
Passo 3
Escolha da série de comparação
(por que essa escolha?):
- Para decidir
, olhamos os termos dominantes de quando é grande. O numerador tem ordem e o denominador tem ordem . Logo, para grandes ,
- Assim escolhemos
que é uma p-série com
. Sabemos que
converge (pela condição
).
Passo 4
Cálculo do limite do teste da comparação no limite:
- Escrevemos a razão
:
- Simplificando os expoentes do
no numerador: . Portanto
- Para calcular o limite quando
, dividimos numerador e denominador por :
- Ao fazer
, temos e . Logo
- Observação:
é um número positivo e finito, portanto satisfaz , condição do teste.
Passo 5
Conclusão pelo teste da comparação no limite:
- Como
, o teste da comparação no limite diz que e têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem, ou ambas divergem). - Já sabemos que
converge porque é uma p-série com . - Portanto
também converge.
Resposta
A série converge.