Use o teste da comparação no limite para mostrar que a série dada converge ou diverge:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{k^{2}+k+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{k^{2}+k+1}
converge ou diverge, utilizando o teste da comparação no limite. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral é a_k=\dfrac{\sqrt{k}}{k^{2}+k+1}.
  • Para todo k\ge 1, temos a_k>0 (os termos são positivos).
  • O que se pede: mostrar convergência ou divergência da série.

Passo 2

Apresentando a ferramenta que vamos usar (explicada passo a passo):
  • Teste da comparação no limite (enunciado): sejam a_k\ge 0 e b_k\ge 0. Se existe o limite
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}
e 0<L<\infty, então a série \sum a_k e a série \sum b_k são ambas convergentes ou ambas divergentes. Em palavras: se os termos têm comportamento assintótico proporcional, as séries têm o mesmo destino.
  • Outro conceito importante que usaremos: série p (p-série). A p-série é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p}.
Essa p-série converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1. Aqui é um resultado padrão que usaremos como comparação.

Passo 3

Escolha da série de comparação b_k (por que essa escolha?):
  • Para decidir b_k, olhamos os termos dominantes de a_k quando k é grande. O numerador tem ordem \sqrt{k}=k^{1/2} e o denominador tem ordem k^{2}. Logo, para grandes k,
a_k \sim \frac{k^{1/2}}{k^{2}} = k^{-3/2}.
  • Assim escolhemos
b_k=\frac{1}{k^{3/2}},
que é uma p-série com p=\tfrac{3}{2}>1. Sabemos que \sum b_k converge (pela condição p>1).

Passo 4

Cálculo do limite do teste da comparação no limite:
  • Escrevemos a razão a_k/b_k:
\frac{a_k}{b_k}=\frac{\dfrac{\sqrt{k}}{k^{2}+k+1}}{\dfrac{1}{k^{3/2}}} =\frac{\sqrt{k}\cdot k^{3/2}}{k^{2}+k+1}.
  • Simplificando os expoentes do k no numerador: \sqrt{k}\cdot k^{3/2}=k^{1/2}\cdot k^{3/2}=k^{2}. Portanto
\frac{a_k}{b_k}=\frac{k^{2}}{k^{2}+k+1}.
  • Para calcular o limite quando k\to\infty, dividimos numerador e denominador por k^{2}:
\frac{k^{2}}{k^{2}+k+1}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k^{2}}}.
  • Ao fazer k\to\infty, temos \dfrac{1}{k}\to 0 e \dfrac{1}{k^{2}}\to 0. Logo
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k^{2}}}=1.
  • Observação: L=1 é um número positivo e finito, portanto satisfaz 0<L<\infty, condição do teste.

Passo 5

Conclusão pelo teste da comparação no limite:
  • Como L=1\in(0,\infty), o teste da comparação no limite diz que \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem, ou ambas divergem).
  • Já sabemos que \sum b_k=\sum \dfrac{1}{k^{3/2}} converge porque é uma p-série com p=\tfrac{3}{2}>1.
  • Portanto \sum a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\sqrt{k}}{k^{2}+k+1} também converge.

Resposta

A série converge.

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