Use o teste da comparação no limite para mostrar que a série dada converge ou diverge:
Passo 1
Enunciado: Decidir se a série
converge ou diverge. Informações dadas: a expressão geral do termo é
para
. Observações imediatas que vêm do enunciado: para
o denominador
torna o primeiro termo negativo; para
temos
e os termos são positivos. A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro detalhe técnico: como os termos só deixam de ser positivos no primeiro índice, é conveniente lembrar que somar ou retirar um número finito de termos não altera a convergência de uma série numérica. Ou seja, a série
converge se, e somente se, a série
converge, porque a diferença entre as duas é apenas o termo
, um número fixo. Então podemos estudar a convergência da cauda
cuja sequência de termos é positiva, o que nos permite usar testes de comparação para séries de termos positivos sem problemas.
Passo 3
Ideia de comparação: para
grande o termo
tem comportamento dominado por
, então
Portanto, uma boa série de comparação é a p-série
Pequena aula sobre p-séries: uma p-série é
. Ela converge quando
e diverge quando
. Aqui
, então
converge. Isso nos dá uma candidata natural para comparar.
Passo 4
Apresentação do teste que vamos usar (Teste da comparação no limite): seja
e
duas sequências de termos positivos. Se existir o limite
com
, então as séries
e
convergem ou divergem simultaneamente. Aqui vamos tomar, para
,
Note que
e
para
, então as hipóteses do teste estão atendidas.
Passo 5
Calcular o limite do quociente
. Escrevemos
Para achar o limite quando
podemos dividir numerador e denominador por
:
À medida que
temos
, portanto
Logo o limite
existe e vale
, que é um número finito e positivo.
Passo 6
Conclusão usando o teste: como
com
, as séries
e
convergem ou divergem juntas. Sabemos pela propriedade da p-série que
converge (já que
). Portanto
também converge. Finalmente, como remover ou adicionar um número finito de termos não altera a convergência, a série original
converge.
Resposta
A série
converge.