Use o teste da comparação no limite para mostrar que a série dada converge ou diverge:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^{4}-2}

Passo 1

Enunciado: Decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^{4}-2}
converge ou diverge. Informações dadas: a expressão geral do termo é \frac{k}{k^{4}-2} para k=1,2,3,\dots. Observações imediatas que vêm do enunciado: para k=1 o denominador 1^{4}-2=-1 torna o primeiro termo negativo; para k\ge2 temos k^{4}-2>0 e os termos são positivos. A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro detalhe técnico: como os termos só deixam de ser positivos no primeiro índice, é conveniente lembrar que somar ou retirar um número finito de termos não altera a convergência de uma série numérica. Ou seja, a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge se, e somente se, a série \sum_{k=2}^{\infty} a_k converge, porque a diferença entre as duas é apenas o termo a_1, um número fixo. Então podemos estudar a convergência da cauda
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k}{k^{4}-2},
cuja sequência de termos é positiva, o que nos permite usar testes de comparação para séries de termos positivos sem problemas.

Passo 3

Ideia de comparação: para k grande o termo k^{4}-2 tem comportamento dominado por k^{4}, então
\frac{k}{k^{4}-2}\approx\frac{k}{k^{4}}=\frac{1}{k^{3}}.
Portanto, uma boa série de comparação é a p-série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3}}.
Pequena aula sobre p-séries: uma p-série é \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{p}}. Ela converge quando p>1 e diverge quando p\le1. Aqui p=3>1, então \sum \frac{1}{k^{3}} converge. Isso nos dá uma candidata natural para comparar.

Passo 4

Apresentação do teste que vamos usar (Teste da comparação no limite): seja (a_k) e (b_k) duas sequências de termos positivos. Se existir o limite
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_k e \sum b_k convergem ou divergem simultaneamente. Aqui vamos tomar, para k\ge2,
a_k=\frac{k}{k^{4}-2}\quad\text{e}\quad b_k=\frac{1}{k^{3}}.
Note que a_k>0 e b_k>0 para k\ge2, então as hipóteses do teste estão atendidas.

Passo 5

Calcular o limite do quociente a_k/b_k. Escrevemos
\frac{a_k}{b_k}=\frac{\dfrac{k}{k^{4}-2}}{\dfrac{1}{k^{3}}} =\frac{k}{k^{4}-2}\cdot k^{3} =\frac{k^{4}}{k^{4}-2}.
Para achar o limite quando k\to\infty podemos dividir numerador e denominador por k^{4}:
\frac{k^{4}}{k^{4}-2}=\frac{1}{1-\dfrac{2}{k^{4}}}.
À medida que k\to\infty temos \dfrac{2}{k^{4}}\to0, portanto
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=\frac{1}{1-0}=1.
Logo o limite L existe e vale L=1, que é um número finito e positivo.

Passo 6

Conclusão usando o teste: como \lim_{k\to\infty}\dfrac{a_k}{b_k}=1 com 0<1<\infty, as séries \sum_{k=2}^{\infty} a_k e \sum_{k=2}^{\infty} b_k convergem ou divergem juntas. Sabemos pela propriedade da p-série que
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{3}}
converge (já que p=3>1). Portanto \sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{k}{k^{4}-2} também converge. Finalmente, como remover ou adicionar um número finito de termos não altera a convergência, a série original
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k^{4}-2}
converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^{4}-2} converge.

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