Calcule os seguintes limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{3 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{2^{3x}-1}{x}.
Informações e observações que temos já de cara:
  • A expressão no numerador é \,2^{3x}-1.
  • O denominador é \,x.
  • Quando x\to 0, temos \,2^{3x}\to 2^{0}=1, então o numerador tende a 0 e o denominador tende a 0: é uma forma indeterminada \frac{0}{0}.
  • Nosso objetivo é transformar essa expressão para usar um limite conhecido que sabemos calcular.

Passo 2

Uma reescrita útil: transformar a potência de base 2 em exponencial com base e. Lembre que, para qualquer base positiva a,
a^{t}=e^{t\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Aplicando isso a 2^{3x} obtemos
2^{3x}=e^{3x\ln 2}.
Substituindo na expressão do limite temos
\frac{2^{3x}-1}{x}=\frac{e^{3x\ln 2}-1}{x}.

Passo 3

Faça a substituição auxiliar \,u=3x\ln 2. Observações sobre essa substituição:
  • Quando x\to 0, claramente u\to 0 também, porque u é múltiplo de x.
  • Em termos de u temos x=\dfrac{u}{3\ln 2}.
    Agora reescrevemos a expressão usando u:
\frac{e^{3x\ln 2}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\frac{u}{x}.
Calculamos \dfrac{u}{x} diretamente a partir da definição de u:
\frac{u}{x}=3\ln 2.
Portanto a expressão fica
\frac{e^{3x\ln 2}-1}{x}=3\ln 2\cdot\frac{e^{u}-1}{u}.

Passo 4

Agora usamos um limite fundamental sobre a função exponencial. Sabemos que
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Por que isso é verdade (explicação didática)? Duas maneiras simples de ver:
  • Pelo conceito de derivada: a derivada de f(u)=e^{u} em u=0 é f'(0)=e^{0}=1. Pela definição de derivada,
f'(0)=\lim_{u\to 0}\frac{f(u)-f(0)}{u-0}=\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
  • Alternativamente, pela série de Taylor de e^{u}: e^{u}=1+u+\dfrac{u^{2}}{2}+\cdots, e dividindo por u o termo dominante é 1, os demais termos vão para 0 quando u\to 0.
Com isso, passando ao limite na expressão do Passo 3,
\lim_{x\to 0}\frac{2^{3x}-1}{x} =3\ln 2\cdot\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u} =3\ln 2\cdot 1.

Resposta

3\ln 2

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