Calcule os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações e observações que temos já de cara:
- A expressão no numerador é
. - O denominador é
. - Quando
, temos , então o numerador tende a e o denominador tende a : é uma forma indeterminada . - Nosso objetivo é transformar essa expressão para usar um limite conhecido que sabemos calcular.
Passo 2
Uma reescrita útil: transformar a potência de base
em exponencial com base
. Lembre que, para qualquer base positiva
,
onde
é o logaritmo natural de
. Aplicando isso a
obtemos
Substituindo na expressão do limite temos
Passo 3
Faça a substituição auxiliar
. Observações sobre essa substituição:
- Quando
, claramente também, porque é múltiplo de . - Em termos de
temos .
Agora reescrevemos a expressão usando:
Calculamos
diretamente a partir da definição de
:
Portanto a expressão fica
Passo 4
Agora usamos um limite fundamental sobre a função exponencial. Sabemos que
Por que isso é verdade (explicação didática)? Duas maneiras simples de ver:
- Pelo conceito de derivada: a derivada de
em é . Pela definição de derivada,
- Alternativamente, pela série de Taylor de
: , e dividindo por o termo dominante é , os demais termos vão para quando .
Com isso, passando ao limite na expressão do Passo 3,