Calcule os seguintes limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt[x]{1-2 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor do limite quando x tende a 0 da expressão
\sqrt[x]{1-2x} .
Informações relevantes dadas:
  • A expressão pode ser reescrita como (1-2x)^{1/x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Note que para x próximo de 0 (por exemplo |x|<\tfrac{1}{2}) temos 1-2x>0, então a expressão está bem definida em torno de 0.

Passo 2

Verificação do tipo de indeterminação: se substituirmos x=0 diretamente obtemos a base 1-2\cdot 0=1 e o expoente 1/0 que tende a infinito (dependendo do lado). Logo a forma é do tipo 1^{\infty}, que é uma indeterminação — ou seja, não podemos concluir que o limite é 1. Precisamos transformar a expressão para poder calcular o limite.

Passo 3

Truque padrão para potências com indeterminação 1^{\infty}: tomar logaritmo natural. Defina
y=(1-2x)^{1/x}.
Tomando logaritmo natural ambos os lados (isso é válido porque a exponencial é contínua e estritamente crescente), obtemos
\ln y=\frac{\ln(1-2x)}{x}.
Agora o objetivo passa a ser calcular o limite
\lim_{x\to 0}\ln y=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-2x)}{x}.

Passo 4

Cálculo do limite de \ln y. Observe que quando x\to 0 temos \ln(1-2x)\to 0 e x\to 0, então a expressão é do tipo \tfrac{0}{0}. Podemos aplicar a Regra de l’Hôpital (ou usar a expansão \ln(1+u)\approx u para u pequeno). Pelo método de l’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\big(\ln(1-2x)\big)=\frac{-2}{1-2x}.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}(x)=1.
Aplicando l’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-2x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{-2}{1-2x}=\frac{-2}{1-0}=-2.
(Se preferir a versão com série: escrevendo \ln(1-2x)=-2x+o(x), então \tfrac{\ln(1-2x)}{x}\to -2 — dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Voltando para y: achamos que
\lim_{x\to 0}\ln y=-2.
Como a função exponencial é contínua, podemos voltar do logaritmo:
\lim_{x\to 0} y=\lim_{x\to 0} e^{\ln y}=e^{\lim_{x\to 0}\ln y}=e^{-2}.

Resposta

e^{-2}

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