Calcule os seguintes limites, caso existam:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor do limite quando
tende a
da expressão
Informações relevantes dadas:
- A expressão pode ser reescrita como
. - O ponto de interesse é
. - Note que para
próximo de (por exemplo ) temos , então a expressão está bem definida em torno de .
Passo 2
Verificação do tipo de indeterminação: se substituirmos
diretamente obtemos a base
e o expoente
que tende a infinito (dependendo do lado). Logo a forma é do tipo
, que é uma indeterminação — ou seja, não podemos concluir que o limite é
. Precisamos transformar a expressão para poder calcular o limite.
Passo 3
Truque padrão para potências com indeterminação
: tomar logaritmo natural. Defina
Tomando logaritmo natural ambos os lados (isso é válido porque a exponencial é contínua e estritamente crescente), obtemos
Agora o objetivo passa a ser calcular o limite
Passo 4
Cálculo do limite de
. Observe que quando
temos
e
, então a expressão é do tipo
. Podemos aplicar a Regra de l’Hôpital (ou usar a expansão
para
pequeno). Pelo método de l’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando l’Hôpital:
(Se preferir a versão com série: escrevendo
, então
— dá o mesmo resultado.)
Passo 5
Voltando para
: achamos que
Como a função exponencial é contínua, podemos voltar do logaritmo: