Determine onde as funções abaixo são contínuas:
a(x)=\ln \left(x^{2}-x-6\right)

Passo 1

O enunciado dá a função a(x)=\ln\!\left(x^{2}-x-6\right) e pede: determinar onde essa função é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolve o logaritmo natural \ln(\cdot).
  • O argumento do logaritmo é o polinômio x^{2}-x-6.
  • Lembre-se que o logaritmo natural está definido apenas para entradas estritamente positivas.
    Não vou resolver nada ainda; apenas deixei claro o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Encontrar o domínio onde a expressão x^{2}-x-6 é positiva, pois só aí \ln está definida. Então precisamos resolver a desigualdade
x^{2}-x-6>0.
Para isso primeiro achamos as raízes da equação associada x^{2}-x-6=0. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25.
As raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2},
ou seja x=-2 e x=3.

Passo 3

Com as raízes, fatoramos o polinômio:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Queremos (x-3)(x+2)>0. Um produto de dois fatores é positivo quando os dois têm o mesmo sinal: ambos positivos ou ambos negativos. Assim os intervalos que satisfazem a desigualdade são
x\in(-\infty,-2)\quad\text{(ambos negativos)}
e
x\in(3,\infty)\quad\text{(ambos positivos)}.
Podemos verificar rapidamente com pontos-teste: em x=-3 temos (-3-3)(-3+2)=(-6)(-1)=6>0; em x=0 temos (-3)(2)=-6<0; em x=4 temos (1)(6)=6>0. Confirma.

Passo 4

Agora argumentos de continuidade:
  • O polinômio x^{2}-x-6 é uma função contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que não há “buracos” ou saltos no seu gráfico.
  • A função \ln(y) é contínua para todo y>0.
  • A composição de duas funções contínuas é contínua no subconjunto do domínio onde a composição é definida. Aqui a composição x\mapsto \ln\!\big(x^{2}-x-6\big) será contínua exatamente nos pontos onde x^{2}-x-6>0.
    Portanto a(x) é contínua em todos os x que encontramos no passo anterior.

Passo 5

Observação sobre os pontos x=-2 e x=3: nesses pontos o argumento do logaritmo é zero, ou seja x^{2}-x-6=0, e \ln(0) não está definido (tende a -\infty ao se aproximar por valores positivos), então a(x) não é definida nem contínua em x=-2 e x=3. Não há outros problemas no domínio.

Resposta

(-\infty,-2)\cup(3,\infty)

Exercícios relacionados