Determine onde as funções abaixo são contínuas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar onde essa função é contínua.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolve o logaritmo natural
. - O argumento do logaritmo é o polinômio
. - Lembre-se que o logaritmo natural está definido apenas para entradas estritamente positivas.
Não vou resolver nada ainda; apenas deixei claro o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Encontrar o domínio onde a expressão
é positiva, pois só aí
está definida. Então precisamos resolver a desigualdade
Para isso primeiro achamos as raízes da equação associada
. Calculamos o discriminante:
As raízes são
ou seja
e
.
Passo 3
Com as raízes, fatoramos o polinômio:
Queremos
. Um produto de dois fatores é positivo quando os dois têm o mesmo sinal: ambos positivos ou ambos negativos. Assim os intervalos que satisfazem a desigualdade são
e
Podemos verificar rapidamente com pontos-teste: em
temos
; em
temos
; em
temos
. Confirma.
Passo 4
Agora argumentos de continuidade:
- O polinômio
é uma função contínua em todo . Isso significa que não há “buracos” ou saltos no seu gráfico. - A função
é contínua para todo . - A composição de duas funções contínuas é contínua no subconjunto do domínio onde a composição é definida. Aqui a composição
será contínua exatamente nos pontos onde .
Portantoé contínua em todos os que encontramos no passo anterior.
Passo 5
Observação sobre os pontos
e
: nesses pontos o argumento do logaritmo é zero, ou seja
, e
não está definido (tende a
ao se aproximar por valores positivos), então
não é definida nem contínua em
e
. Não há outros problemas no domínio.