Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
lim h 0 (3+h)^2-9h

Passo 1

Beleza, o enunciado é: Calcular
limhto 0(3+h)^2 - 9h
Isso é um problema de limite de função, e a gente vai encontrar uma indeterminação do tipo . Para resolver precisamos usar:
  1. propriedades de limite (soma, quociente, continuidade de polinômios);
  2. fatoração/simplificação pra eliminar o que dá problema no denominador.

Passo 2

Primeiro tenta a substituição direta de (3+0)^2 - 90 = 9 - 90 = 00, :
e esse é uma forma indeterminada. A teoria diz que, quando isso acontece, a gente precisa reescrever a expressão pra “cancelar” o .

Passo 3

Vamos expandir o numerador e fatorar:
(3+h)^2 - 9 = 9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2
Então
(3+h)^2 -9h = 6h + h^2h = h,(6 + h)h
Aí dá pra cancelar o 6 + h (desde que ), sobrando

Passo 4

Agora usamos a propriedade de continuidade de polinômios:
limhto0(6+h) = 6 + 0 = 6
Ou seja, depois de simplificar, o limite é simplesmente o valor da expressão em .

Resposta

6

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