Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
lim x infty x^2+12 x^2-3

Passo 1

Beleza, aqui a parada é a seguinte: a questão pede pra gente calcular
limxtoinftyx^2+12x^2-3
O conteúdo é limites de funções racionais (polinômios divididos). Pra resolver a gente vai precisar entender que, quando cresce muito, os termos de maior grau (aqui ) “dominam” a expressão e as constantes viram detalhe. A técnica é dividir numerador e denominador pelo maior grau de , que é .

Passo 2

Escreve a função original:
f(x)=x^2+12x^2-3
Como o grau do numerador e do denominador é igual (ambos são grau 2), a gente divide tudo por x^2+12x^2-3 =x^2x^2+1x^22x^2x^2-3x^2 =1+1x^22-3x^2 :
$$
\frac{x{2}+1}{2x{2}-3}
=\frac{\displaystyle\frac{x{2}}{x2}+\frac{1}{x2}}{\displaystyle\frac{2x{2}}{x2}-\frac{3}{x2}}
=\frac{1+\frac{1}{x2}}{2-\frac{3}{x2}}.
$$

Passo 3

Agora aplica a propriedade do limite de soma e quociente:
  • Quando limxtoinfty(1+1x^2)=1+0=1, limxtoinfty(2-3x^2)=2-0=2 , e .
  • Então

Passo 4

Como o limite do numerador é 1 e o do denominador é 2, pela regra do quociente de limites temos
limxtoinfty1+1x^22-3x^2 =12

Resposta

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