Dada a EDO abaixo:
d^2 y(t)d t^2+6 d y(t)d t+8 y(t)=2 d x(t)d t+x(t)
Por meio da propriedade da convolução da transformada de Fourier, determine Y(j w) e y(t).

Passo 1

Beleza, ó o que temos: uma equação diferencial de 2ª ordem relacionando o sinal de entrada d^2 y(t)d t^2 + 6 d y(t)d t + 8,y(t) ;=; 2 d x(t)d t + x(t) e o de saída :
Isso é assunto de Processamento de Sinais (EDO + Fourier). Para resolver, vamos usar:
  1. Propriedade da Transformada de Fourier para derivadas ( )
  2. Linearidade da transformada
  3. Propriedade da convolução ( e no tempo ).

Passo 2

Aplico a transformada de Fourier em cada termo. Lembre que
(jomega)^2 Y + 6,(jomega)Y + 8,Y ;=; 2,(jomega)X + 1cdot X ,
,
e o mesmo para .
Então a EDO vira

Passo 3

Agora fatoramos Yl[(jomega)^2 + 6jomega +8] = Xl[2jomega +1] e Y(jomega) = underbrace2jomega +1(jomega)^2 +6jomega +8H(jomega) ;X(jomega) :
[
Y\bigl[(j\omega)^2 + 6j\omega +8\big]

X\bigl[2j\omega +1\big].
]
Logo
[
Y(j\omega)

\underbrace{\frac{2j\omega +1}{(j\omega)^2 +6j\omega +8}}_{H(j\omega)}
;X(j\omega).
]
Isso já é a parte de Fourier:
Y(jomega)=H(jomega),X(jomega)

Passo 4

Pra achar H(s)=2s+1s^2+6s+8 =2s+1(s+2)(s+4) precisamos do impulso 2s+1(s+2)(s+4) =12,1s+2-12,1s+4 , que é a inversa de h(t) =12l(e^-2t-e^-4tr),u(t) . Note que no domínio de Laplace temos
Fazendo frações parciais (ou direto pela forma canônica):
Invertendo pra (lembrando de multiplicar por ):

Passo 5

Por fim, a saída no tempo é a convolução do impulso com a entrada:
y(t) =(h*x)(t) =integral-infty^inftyh(tau),x(t-tau),dtau =integral0^t12l(e^-2tau-e^-4taur)x(t-tau),dtau

Resposta


e

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