Dada a EDO abaixo:
Por meio da propriedade da convolução da transformada de Fourier, determine
e
.
Passo 1
Beleza, ó o que temos: uma equação diferencial de 2ª ordem relacionando o sinal de entrada
e o de saída
:
Isso é assunto de Processamento de Sinais (EDO + Fourier). Para resolver, vamos usar:
- Propriedade da Transformada de Fourier para derivadas (
) - Linearidade da transformada
- Propriedade da convolução (
e no tempo ).
Passo 2
Aplico a transformada de Fourier em cada termo. Lembre que
,
,
e o mesmo para .
Então a EDO vira
e o mesmo para
Então a EDO vira
Passo 3
Agora fatoramos
e
:
[
Y\bigl[(j\omega)^2 + 6j\omega +8\big]
X\bigl[2j\omega +1\big].
]
Logo
[
Y(j\omega)
\underbrace{\frac{2j\omega +1}{(j\omega)^2 +6j\omega +8}}_{H(j\omega)}
;X(j\omega).
]
;X(j\omega).
]
Isso já é a parte de Fourier:
Passo 4
Pra achar
precisamos do impulso
, que é a inversa de
. Note que no domínio de Laplace
temos
Fazendo frações parciais (ou direto pela forma canônica):
Invertendo pra
(lembrando de multiplicar por
):
Passo 5
Por fim, a saída no tempo é a convolução do impulso com a entrada:
Resposta
e