Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
lim x infty x^2-x^4x^3-1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Calcule o limite
limxtoinftyx^2-x^4x^3-1
Isso é conteúdo de cálculo de limites no infinito. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de “fatorar a maior potência de ” e entender como dominam os termos quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, a gente identifica qual é a maior potência de que aparece no numerador e no denominador.
  • No numerador, os termos são e . A maior potência é .
  • No denominador, os termos são e . A maior potência é .
A ideia é dividir tudo por essa maior potência de para ver o comportamento quando .

Passo 3

Vamos dividir numerador e denominador por x^2-x^4x^3-1 = x^4l(x^2x^4-1r)x^3-1 = x^4l(tfrac1x^2-1r)x^3-1 (a maior potência geral que aparece no numerador):
x^2-x^4x^3-1 = x^4l(-1 + tfrac1x^2r)x^3l(1 - tfrac1x^3r) = x^4x^3;-1 + tfrac1x^21 - tfrac1x^3 = x;-1 + tfrac1x^21 - tfrac1x^3
Mas para facilitar, podemos também dividir passo a passo ou notar que no fim vamos ter um quociente que cresce como . Vou fazer direto o mais usual: dividir por em cima e embaixo:

[
\frac{x{2}-x{4}}{x^{3}-1}

\frac{x^4\bigl(-1 + \tfrac{1}{x2}\bigr)}{x3\bigl(1 - \tfrac{1}{x^3}\bigr)}

\frac{x4}{x3};\frac{-1 + \tfrac{1}{x^2}}{1 - \tfrac{1}{x^3}}

x;\frac{-1 + \tfrac{1}{x^2}}{1 - \tfrac{1}{x^3}}.
]

Passo 4

Agora, estudamos cada fração conforme -1 + tfrac1x^21 - tfrac1x^3 ;longrightarrow;-1 :
  • limxtoinfty x cdot (-1) = limxtoinfty(-x) = -infty , então .
  • , então .
Assim a parte fracionária tende a . Logo,
Então nosso limite vira

Resposta

limxtoinftyx^2-x^4x^3-1 = -infty
Ou seja, não existe limite finito; a expressão diverge para menos infinito.

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