Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Calcule o limite
Isso é conteúdo de cálculo de limites no infinito. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de “fatorar a maior potência de
” e entender como dominam os termos quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, a gente identifica qual é a maior potência de
que aparece no numerador e no denominador.
- No numerador, os termos são
e . A maior potência é . - No denominador, os termos são
e . A maior potência é .
A ideia é dividir tudo por essa maior potência de
para ver o comportamento quando
.
Passo 3
Vamos dividir numerador e denominador por
(a maior potência geral que aparece no numerador):
Mas para facilitar, podemos também dividir passo a passo ou notar que no fim vamos ter um quociente que cresce como
. Vou fazer direto o mais usual: dividir por
em cima e embaixo:
[
\frac{x{2}-x{4}}{x^{3}-1}
\frac{x^4\bigl(-1 + \tfrac{1}{x2}\bigr)}{x3\bigl(1 - \tfrac{1}{x^3}\bigr)}
\frac{x4}{x3};\frac{-1 + \tfrac{1}{x^2}}{1 - \tfrac{1}{x^3}}
x;\frac{-1 + \tfrac{1}{x^2}}{1 - \tfrac{1}{x^3}}.
]
]
Passo 4
Agora, estudamos cada fração conforme
:
-
, então . -
, então .
Assim a parte fracionária tende a
. Logo,
Então nosso limite vira
Resposta
Ou seja, não existe limite finito; a expressão diverge para menos infinito.