Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
lim x 0^+ sen x cdot cos (1x)

Passo 1

Então, a questão pede para a gente calcular
Isso é assunto de cálculo de limites, em especial vamos usar o Teorema do Confronto (ou “Teorema do Sanduíche”), que diz que se uma função f(x) fica sempre entre g(x) e h(x) e ambas g(x), h(x) têm o mesmo limite L, então f(x) também tem limite L. Além disso, precisamos saber que para todo x vale
limx to 0^+ l(sen x cdot cos(tfrac1x)r)
e que quando -1 <= cosl(tfrac1xr) <= 1 .

Passo 2

Primeiro, note que quando sen x ;to; 0 e -1 ;<=; cosl(tfrac1xr);<=; 1 se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ), temos
Aqui explico: a função é contínua e passa por zero em . Já oscila loucamente quando , mas nunca sai do intervalo .

Passo 3

Agora a gente vai “colocar” esse na desigualdade. Como para -1 ,<=, cosl(tfrac1xr),<=, 1 ;;Longrightarrow;; -sen x ,<=, sen xcdotcosl(tfrac1xr),<=, sen x temos , podemos multiplicar a desigualdade por sem inverter sinais:
Isso vale porque, de forma geral, se e , então .

Passo 4

Aí vem o Teorema do Confronto:
  • O limite de quando -sen x ;<=; sen xcosl(tfrac1xr);<=;sen x é .
  • O limite de quando é .
    Como
e as duas “funções-limite” à esquerda e à direita vão para 0, a do meio também tem que ir para 0.

Resposta

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