Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
Passo 1
Então, a questão pede para a gente calcular
Isso é assunto de cálculo de limites, em especial vamos usar o Teorema do Confronto (ou “Teorema do Sanduíche”), que diz que se uma função f(x) fica sempre entre g(x) e h(x) e ambas g(x), h(x) têm o mesmo limite L, então f(x) também tem limite L. Além disso, precisamos saber que para todo x vale
e que quando
.
Passo 2
Primeiro, note que quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo (
), temos
Aqui explico: a função é contínua e passa por zero em
. Já
oscila loucamente quando
, mas nunca sai do intervalo
.
Passo 3
Agora a gente vai “colocar” esse na desigualdade. Como para
temos , podemos multiplicar a desigualdade
por sem inverter sinais:
Isso vale porque, de forma geral, se
e
, então
.
Passo 4
Aí vem o Teorema do Confronto:
- O limite de quando
é . - O limite de quando
é .
Como
e as duas “funções-limite” à esquerda e à direita vão para 0, a do meio também tem que ir para 0.