Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
lim x 1 x+1x^2-1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular
limx to 1 x+1x^2-1
Isso é um limite de função que envolve divisão por uma expressão que pode virar zero. Para resolver, vamos precisar:
  • Tentar substituição direta em .
  • Reconhecer quando o denominador vai a zero e como isso afeta o limite (limite infinito).
  • Analisar limites laterais (à direita e à esquerda de 1).

Passo 2

Primeiro, faz a tentativa de substituir x+1x^2-1gr|x=1 = 1+11^2 - 1 = 20 diretamente:
Como o denominador fica zero, não dá um número finito, mas “2 dividido por algo que vai a zero” indica que o valor da fração cresce sem limite (infinito), ou seja, é uma situação de limite infinito. Nesse caso não se trata de uma forma indeterminada , e sim de ã.

Passo 3

Para ver se o limite existe (finito) ou não, a gente checa de que lado a gente chega em limx to 1^+ x+1x^2-1 = +infty e limx to 1^- x+1x^2-1 = -infty, :
  1. Lado direito ( ):
    • em torno de 1 é positivo (fica perto de 2).
    • : aqui e porque .
    • Logo, o denominador é positivo e muito pequeno, então a fração vai para .
  2. Lado esquerdo ( ):
    • ainda é positivo (perto de 2).
    • porque , e .
    • O produto é negativo e muito pequeno em módulo, então a fração vai para .
Como
os dois lados não coincidem, então o limite de duas mãos em não existe (não há valor real finito nem mesmo um único “infinito”).

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes ( e ).

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