Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Estamos trabalhando com limites de funções que oscilam muito quando o argumento “explode” (aqui,
vai para
). Para resolver, vamos precisar do conceito de limite e de como identificar quando um limite não existe por oscilações.
Passo 2
Antes de mais nada, lembra da definição: dizemos que
se, quando
fica muito perto de 0 (sem ser igual),
fica cada vez mais perto de
. Aqui,
. Note que, à medida que
vai para 0, o número
cresce sem parar (vai para
ou
), e a função
nesse caso fica “pipocando” entre
e
.
Passo 3
Para ver por que não há limite, podemos usar dois argumentos:
-
Oscilação direta
A funçãooscila entre e para qualquer . Quando pula pra valores cada vez maiores, continua indo de a sem nunca “parar” num valor único. -
Sequências de aproximação
Se existisse um limite, toda sequência faria . Mas podemos escolher duas sequências que dão resultados diferentes: - Tome
. Aí - Agora pegue
. Então
Ambas as sequênciase vão para 0, mas uma faz e a outra faz . Logo não dá para ter um único . - Tome
Passo 4
Como encontramos aproximações diferentes, isso mostra que não existe um valor único que
aproxime quando
. A função simplesmente oscila entre
e
o tempo todo.
Resposta
O limite
não existe, pois a função oscila entre
e
sem convergir para um único valor.