Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
lim x 0 sen(1x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to 0 sin!l(tfrac1xr)
Estamos trabalhando com limites de funções que oscilam muito quando o argumento “explode” (aqui, vai para ). Para resolver, vamos precisar do conceito de limite e de como identificar quando um limite não existe por oscilações.

Passo 2

Antes de mais nada, lembra da definição: dizemos que se, quando fica muito perto de 0 (sem ser igual), fica cada vez mais perto de . Aqui, . Note que, à medida que vai para 0, o número cresce sem parar (vai para ou ), e a função nesse caso fica “pipocando” entre e .

Passo 3

Para ver por que não há limite, podemos usar dois argumentos:
  1. Oscilação direta
    A função 1xn = tfracpi2 + 2pi n Longrightarrow sin!l(tfrac1xnr) = sinl(tfracpi2 + 2pi nr) = 1 oscila entre 1yn = -tfracpi2 + 2pi n Longrightarrow sin!l(tfrac1ynr) = sinl(-tfracpi2 + 2pi nr) = -1 e para qualquer . Quando pula pra valores cada vez maiores, continua indo de a sem nunca “parar” num valor único.
  2. Sequências de aproximação
    Se existisse um limite , toda sequência faria . Mas podemos escolher duas sequências que dão resultados diferentes:
    • Tome . Aí
    • Agora pegue . Então
    Ambas as sequências e vão para 0, mas uma faz e a outra faz . Logo não dá para ter um único .

Passo 4

Como encontramos aproximações diferentes, isso mostra que não existe um valor único que aproxime quando . A função simplesmente oscila entre e o tempo todo.

Resposta

O limite não existe, pois a função oscila entre e sem convergir para um único valor.

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