Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
Passo 1
Beleza, vou te ajudar com esse limite. A questão é de Cálculo, mais especificamente limites de funções quando
vai pra infinito, e aqui temos uma função racional (quociente de polinômios). Para resolver isso a gente vai precisar lembrar que, pra limites de polinômios em
, o termo de maior grau domina o comportamento da função. Então é isso que a gente vai usar: comparar os graus do numerador e do denominador e, se for preciso, “fatorar” a maior potência de
pra simplificar.
Passo 2
Primeiro, escrevendo o limite:
Teoria que a gente aplica:
- Quando o grau do numerador (a maior potência de
) for maior que o grau do denominador, o limite costuma “ir” para . - Quando for igual, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
- Quando for menor, o limite é 0.
Aqui o numerador é grau 5 (
) e o denominador é grau 3 (
), então já dá pra desconfiar que o limite seja infinito.
Passo 3
Pra ver isso de um jeito formal, a gente fatora no numerador e denominador a maior potência comum, que é
:
Como
está em cima e embaixo, cancela:
Passo 4
Agora, quando
, a gente sabe que
e
. Então dentro da fração sobra:
E
Quando ,
, logo
.
Quando