Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
lim x infty 2 x^5-x^3+26 x^3+7

Passo 1

Beleza, vou te ajudar com esse limite. A questão é de Cálculo, mais especificamente limites de funções quando vai pra infinito, e aqui temos uma função racional (quociente de polinômios). Para resolver isso a gente vai precisar lembrar que, pra limites de polinômios em , o termo de maior grau domina o comportamento da função. Então é isso que a gente vai usar: comparar os graus do numerador e do denominador e, se for preciso, “fatorar” a maior potência de pra simplificar.

Passo 2

Primeiro, escrevendo o limite:
limx to infty2x^5 - x^3 + 26x^3 + 7
Teoria que a gente aplica:
  • Quando o grau do numerador (a maior potência de ) for maior que o grau do denominador, o limite costuma “ir” para .
  • Quando for igual, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Quando for menor, o limite é 0.
Aqui o numerador é grau 5 ( ) e o denominador é grau 3 ( ), então já dá pra desconfiar que o limite seja infinito.

Passo 3

Pra ver isso de um jeito formal, a gente fatora no numerador e denominador a maior potência comum, que é 2x^5 - x^3 + 26x^3 + 7 = x^3l(2x^2 - 1 + tfrac2x^3r)x^3l(6 + tfrac7x^3r) :
= 2x^2 - 1 + tfrac2x^36 + tfrac7x^3
Como está em cima e embaixo, cancela:

Passo 4

Agora, quando 2x^2 - 1 + 06 + 0 = 2x^2 - 16 , a gente sabe que e . Então dentro da fração sobra:
E
Quando , , logo .

Resposta

(o limite não existe como número finito; diverge para ).

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