O modelo de um processo no domínio de Laplace pode ser representado pelas seguintes equações:
l (taua s+1) Y1(s)=K1 U1(s)+Kb Y2(s) (taub s+1) Y2(s)=K2 U2(s)+Y1(s)
onde as saídas são Y1 e Y2 e as entradas são U1 e U2.
Encontre as seguintes funções transferência: Y2(s)U1(s)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que a questão pede. A gente tem um sistema descrito no domínio de Laplace por duas equações:
(taua s+1),Y1(s) = K1,U1(s) + Kb,Y2(s) (taub s+1),Y2(s) = K2,U2(s) + Y1(s)
O objetivo é achar a função de transferência Y2(s)U1(s),
Conteúdo: sistemas MIMO em domínio de Laplace, manipulação algébrica de equações para obter TF.

Passo 2

Primeiro, como só estamos interessados em Y2(s)/U1(s), vamos considerar que U2(s)=0 (ou seja, nenhuma outra entrada). Aí a segunda equação vira:
(taub s+1),Y2(s) = Y1(s),
Isso já mostra que o termo Y1 vai “alimentar” Y2.

Passo 3

Agora, da primeira equação a gente isola Y1(s) em função de U1 e Y2:
Y1(s) = K1,U1(s) + Kb,Y2(s)taua s + 1,

Passo 4

Substituímos esse Y1(s) na segunda equação:
(taub s+1),Y2(s) = K1,U1(s) + Kb,Y2(s)taua s + 1,
Multiplicando ambos os lados por (taua s+1), dá:
(taub s+1)(taua s+1),Y2(s) = K1,U1(s) + Kb,Y2(s),
Agora agrupa os termos com Y2(s) do mesmo lado:
l[(taub s+1)(taua s+1) - Kbr],Y2(s) = K1,U1(s),

Passo 5

Pronto, dividindo tudo por U1(s) e pelo fator que multiplica Y2(s), a função de transferência é:
boxed Y2(s)U1(s) = K1(taua s+1)(taub s+1) ;-; Kb = K1tauataub,s^2 + (taua+taub),s + (1 - Kb),

Resposta

Y2(s)U1(s) = K1(taua s+1)(taub s+1) - Kb,

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